Körper und komplexe Zahlen. Bsp. Zeige: (d) z·z ̄ = |z|^2

Question

Sei K ein Körper und seien x, y ∈ K. Zeigen Sie: 

(a) x·(−y)=−(x·y)
(b) Wenn x·y=0 ist, dann ist x=0odery=0.

Sei jetzt z eine komplexe Zahl. Zeigen Sie:

 (c) Der Realteil von z ist gleich z+z ̄/2

(d) z·z ̄=|z|2 

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Sei K ein Körper und seien x, y ∈ K. Zeigen Sie: 

(a) x·(−y)=−(x·y)
(b) Wenn x·y=0 ist, dann ist x=0odery=0.

Sei jetzt z eine komplexe Zahl. Zeigen Sie:

 (c) Der Realteil von z ist gleich z+z ̄/2

(d) z·z ̄=|z|2 

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Du hast zwei mal gleich unklar gepostet.

" (c) Der Realteil von z ist gleich z+z ̄/2

(d) z·z ̄=|z|2 "

Sollte wohl:

 (c) Der Realteil von z ist gleich (z+z ^quer)/2 

(d) z·z ̄=    |z|^2 

heissen. 

Answer 1

Komplexe Zahlen 

(c) Der Realteil von z ist gleich (z+z ^quer)/2 

Sei z=x+iy

Re(z) = x

und

(z + z^quer)/2 = (x+iy + x - iy)/2 = (2x)/2 = x 

ist dasselbe. 

(d) z·z ̄=    |z|^2 

z*z^quer = (x + iy)(x-iy) = x^2 + y^2  

und

|z|^2 = ( √(x^2 + y^2) )^2 = x^2 + y^2

auch hier dasselbe. q.e.d. 

Comments

Vielen Dank ;-) Wie beweist man a und b?

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a und b musst du wohl auf die Körperaxiome zurückführen. Vielleicht habt ihr aber auch schon etwas mehr bewiesen(?) 

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nein haben wir leider nicht