Sei (G,*) eine Gruppe. Zeige: Bsp. (a1,....,an)^{-1} = an^{-1}...a1^{-1}

Question

Sei (G,*) eine Gruppe.

1. Für neN>0 und a1,....,an e G ist (a1,....,an)^{-1} = an^{-1}...a1^{-1}.

2. Beweisen Sie für a,b e G: (ab)^{-1} =a^{-1}*b^{-1} genau dann, wenn ab=ba gilt.

3. Wenn a^2 = e gilt für alle a e G, dann ist G abelsch.

Comments

(a1,....,an)^-1 =   ...

Mit welcher Verknüpfung auf G^n soll gearbeitet werden ?

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Ich bin davon ausgegangen, dass

(a1*....*an)^-1 = an^-1...a1^-1  gemeint war, da die Kommata kaum Sinn machen. 

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Das ist mir auch völlig klar.

Mein Kommentar ist zu lesen als  "Wenn du schon Deine gesamten Aufgabenblätter einstellst und wenn du dir keine Gedanken über die Mathematik machst, dann schreibe sie wenigstens richtig ab."

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Bemerkung war auch mehr an den Fragende gerichtet ;)

hj2144: Du sollst aber gern mit kontrollierendem Auge auf meine Antwort schauen.

Answer 1

 (a1*....*an)^-1 = an^-1...a1^-1  

Rechne links und rechts von rechts "mal a1" | In Gruppen erlaubt

(a1*....*an)^-1 * (a1)= (an^-1...a2^{-1} *a1^-1 )* a1       | assoziativgesetz gilt in Gruppen. 

(a1*....*an)^-1 * (a1)= (an^-1...a2^{-1} *(a1^-1 * a1 )      | Gruppeneigenschaft.  e neutrales Element von G. 

(a1*....*an)^-1 * (a1)= (an^-1...a2^{-1} )*(e )       | Mult. mit e.

(a1*....*an)^-1 * (a1)= (an^-1...a2^{-1} )     | * a2 von rechts

Comments

Fortsetzung (oben angeblich mehr als 8000 Zeichen)

(a1*....*an)^-1 * (a1))* a2 = (an^-1...a2^{-1} )* a2        | Assoz.gesetz

(a1*....*an)^-1 * (a1* a2) = (an^-1...*a3^{-1}) *(a2^{-1} )* a2 )  

(a1*....*an)^-1 * (a1* a2) = (an^-1...*a3^{-1}) *(e )   

(a1*....*an)^-1 * (a1* a2) = (an^-1...*a3^{-1}) 

usw. bis  (Kannst auch Induktion machen, wenn du keine Pünktchen schreiben darfst)

(a1*....*an)^-1 * (a1* a2* ..... an) = e       

2) Gemäss 1) gilt (ab)^{-1} =  b^{-1}*a^{-1} 

Das kannst du benutzen. 

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Wie zeige ich denn 2 und dann auch das es abelsch ist wenn a^2 = e