Question

Wir wollen im Folgenden eine Metrik auf R = R∪{±∞} konstruieren.

(a)  Sei f : R→R, x → x /(1+|x|).

Zeigen Sie, dass durch d(x,y) := |f(x)−f(y)| eine Metrik auf R definiert ist.

(b) Wir erweitern f durch f(∞) := 1 und f(−∞) := −1 zu einer Funktion auf R.

Zeigen Sie, dass d(x,y) := |f(x)−f(y)| eine Metrik auf R definiert.

Answer 1

a) Metrik-Bedingungen nachprüfen:
$d\!:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R\!:(x,y)\mapsto \left|\frac x{1+|x|}-\frac y{1+|y|}\right|$ nimmt nur Werte $\geq0$ an, also eigentlich $d\!:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R_0^+.$
$$1)\ d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y\!:\\ \forall x,y\in \mathbb R\!:d(x,y)=0 \Leftrightarrow |f(x)-f(y)|=0 \Leftrightarrow f(x)=f(y)\Leftrightarrow \frac x{1+|x|}=\frac y{1+|y|}\Leftrightarrow(1+|y|)x=(1+|x|)y\Leftrightarrow x+x|y|=y+|x|y.$$
Aus $\frac x{1+|x|}=\frac y{1+|y|}$ folgt aber auch: $\operatorname{sign}\left(\frac x{1+|x|}\right)=\operatorname{sign}\left(\frac y{1+|y|}\right)$ (gleiche Zahlen haben gleiches Vorzeichen). Weil der Nenner immer positiv ist ($"1 +$ nichtnegative Zahl $>0"$), folgt daraus, dass das Vorzeichen nur vom Zähler bestimmt wird, also $\operatorname{sign}(x)=\operatorname{sign}(y)$. Daraus folgt: $x|y|=\operatorname{sign}(x)|x||y|=\operatorname{sign}(y)|x||y|=|x|y.$
Dann kann man die Gleichung vereinfachen zu: $x+x|y|=y+|x|y \Leftrightarrow x=y.$
$2)$ Symmetrie: $$\forall x,y \in \mathbb R\!:d(x,y)=|f(x)-f(y)|=|f(y)-f(x)|=d(y,x).$$
$3)$ Dreiecksungleichung: $$\forall x,y,z \in \mathbb R\!:d(x,z)=|f(x)-f(z)|=|f(x)-f(y)+f(y)-f(z)|\leq |f(x)-f(y)|+|f(y)-f(z)|=d(x,y)+d(y,z).$$

b) nochmal dasselbe:
Ich fange mal mit Symmetrie an:
$$\forall x,y \in \overline {\mathbb R}\!: d(x,y)=|f(x)-f(y)|=|f(y)-f(x)|=d(y,x),$$da $f(x),f(y)$ noch immer in $\mathbb R$ sind.

Wegen der Symmetrie und weil wir $x,y\in \mathbb R$ schon gezeigt haben, können wir hier annehmen, dass $x=\pm \infty, y\in \overline {\mathbb R}.$
Definitheit:
Fall 1: $x=\infty\!:$$$d(\infty,y)=0 \Leftrightarrow |f(\infty) - f(y)|=0 \Leftrightarrow |1-f(y)|=0 \Leftrightarrow f(y)=1.$$Fall 2: $x=-\infty\!:$$$d(-\infty,y)=0 \Leftrightarrow |f(-\infty) - f(y)|=0 \Leftrightarrow |-1-f(y)|=0 \Leftrightarrow f(y)=-1.$$
$f(\pm\infty)$ haben wir schon explizit definiert, aber für welche $y\in \mathbb R$ ist $|f(y)|=1$?
$$\forall y\in \mathbb R\!:|f(y)|=1\Leftrightarrow \left|\frac y{1+|y|}\right|=1\Leftrightarrow |y|=1+|y|\Leftrightarrow 0=1.$$
Also niemals (den letzten Schritt dürfen wir nur machen, wenn wir in $\mathbb R$ sind, deshalb ist die Aussage für $f(\pm\infty)$ wahr, für alle rellen $x$ aber falsch).
Damit ist $d(\infty,y)=0 \Leftrightarrow y=\infty$ und $d(-\infty,y)=0 \Leftrightarrow y=-\infty.$

Dreiecksungleichung:
genau gleich wie vorher, da wir wieder nur Funktionswerte von $f$ hinzufügen, die alle in $\mathbb R$ sind. Wäre das nicht der Fall, könnten wir diese Rechnung nicht anwenden, weil wir nicht $-\infty +\infty$ hinzufügen können ($\infty -\infty$ ist nicht definiert, deshalb nicht unbedingt Null.)

Tadaa, eine Metrik auf $\overline {\mathbb R}$!