Zeige das 0<Cn<1 und beweise das Limes existiert. C_(N):= (Summe(1/n)) minus log(N).

Question

Sei$$ { C }_{ N }\quad :=\quad \sum _{ n=1 }^{ N }{ (\frac { 1 }{ n } ) } -log(N) $$(i) Zeige: 0 < C_N < 1 für alle N > 0(ii) Beweise, dass$$ C\quad =\quad \lim _{ N\rightarrow \infty  }{ { C }_{ N } }  $$existiert

Answer 1

Beachte $$\int_1^N\frac{dx}{x}=\log N.$$ Schreibe für diese Integral eine Ober- und eine Untersumme für eine aequidistante Zerlegung mit Schrittweite 1 auf. Das ergibt mit \(H_N=1+1/2+\cdots+1/N\) die Abschaetzung $$H_N-1<\log N<H_N-1/N,$$ aus der $$0<1/N<C_N<1$$ folgt. Fuer die Konvergenz von \(C_N\) hilft eine Monotoniebetrachtung.