Beweis für die Halbierungsformel von cos²(x/2)

Question

Zeige, dass für alle x ∈  ℝ  gilt:

cos²(x/2) = (1+cos(x)) / 2

Ich hab es mit dem Additionstheorem und dem Satz des Pythagoras probiert aber komme nicht drauf..

Danke schonmal

Answer 1

cos(x + x) = cos(x)^2 - sin(x)^2

cos(2 * x) = cos(x)^2 - (1 - cos(x)^2)

cos(2 * x) = cos(x)^2 - 1 + cos(x)^2)

cos(2 * x) = 2 * cos(x)^2 - 1

1 + cos(2 * x) = 2 * cos(x)^2

(1 + cos(2 * x)) / 2 = cos(x)^2

cos(x)^2 = (1 + cos(2 * x)) / 2

Subst. x = y/2

cos(y/2)^2 = (1 + cos(y)) / 2