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a) Benutzen Sie die Additionstheoreme für \( \sin (x+y) \) und \( \cos (x+y) \) sowie \( \sin ^{2} z+\cos ^{2} z=1, \) um Formeln für \( \sin (2 x) \) und \( \cos (2 x) \) herzuleiten. Für \( \cos (2 x) \) leiten Sie bitte zwei Formeln her, eine, die nur cos \( x \) verwendet, und eine, die nur sin \( x \) verwendet.

b) Nutzen Sie a) und die bekannten Funktionswerte von, cos, um die Werte (i) \( \cos \frac{\pi}{8}, \) (ii) \( \cos \frac{\pi}{12}, \) (iii) \( \sin \frac{\pi}{12}, \) (iv) \( \cos \frac{\pi}{16} \) zu berechnen. (Die Ergebnisse unter Verwendung von Wurzeln darstellen, nicht in den Taschenrechner tippen, logischerweise :^))

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Zu a) sin(2x)=sin(x+x)=sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x)=2cos(x)sin(x)

cos(2x)=cos(x+x)=cos(x)cos(x)+sin(x)sin(x)=cos2(x)-sin2(x)=cos2(x)-(1-cos2(x))=2cos2(x)-1

                                                                    cos2(x)-sin2(x))=1-sin2(x)-sin2(x)=1-2sin2(x).

von 112 k 🚀

Okay das ist gut nachvollziehbar danke
& zu b)?

b) (I) Bereits gezeigt:cos(2x)=2cos2(x)-1. Für x=π/8 wird daraus: cos(π/4)=2cos2(π/8)-1 oder (√2+2)/2=2cos2(π/8). (Bedenke cos(π/4)=√2/2)

Auf beiden Seiten durch 2 und danach die Wurzel ziehen: cos(π/8)=\( \frac{\sqrt{\sqrt{2}+2}}{2} \)

Der Rest geht ähnlich.

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