Welche der folgenden Mengen M sind Unterräume der angegebenen K-Vektorräume V?

Question

Aufgabe:

siehe 5-B ich sitze einfach da und weiß gar nicht was ich machen soll.

Ich kenne die Bedingungen für einen Unterraum.

Ich habe mir aufgeschrieben:

1) 0_v∈ U

2)u,v ∈ U → v+u ∈ U

3) u ∈ U α ∈ K , αu ∈ U

und ich habe dann für a) 0 für x1 und x2 eingesetzt und komme halt darauf das 2*0 +0 ≠ 1 ist..

aber weiter weiß ich einfach nicht

Answer 1

Der Anfang war richtig.

a) ist kein Untervektorraum, da das Null-Element von V nicht in M enthalten ist.

b) ist ein Untervektorraum, da

1) der Nullvektor (0,0,0)^T die Gleichung 2z₁ + z₂ = 0 erfüllt.

2) M abgeschlossen bzgl. der Addition ist: Seien z und w aus M mit: 2z₁ + z₂ = 0 und 2w₁ + w₂ = 0 dann gilt

auch 2(z₁ + w₁) + (z₂ + w₂) = 0, also (z + w) ∈ M

3) M abgeschlossen bzgl. Skalarer Multiplikation: Seien z∈M und λ∈K, dann

gilt λ(2z₁ + z₂) = λ2z₁ + λz₂ = 2(λz₁) + (λz₂) und somit λz ∈ M.

c) ist kein Untervektorraum, da nicht abgeschlossen bzgl. der Addition - i.A. gilt nicht λ²₁ + λ²₂ = λ²₃   

d) ist kein Untervektorraum, da nicht abgeschlossen bzgl. Skalarer Multiplikation - der Betrag kann bei entsprechender Multiplikation größer 1 werden.

e) ist ein Untervektorraum: die Nullfunktion ist gerade und die Summe bzw. Skalare Vielfache bleiben gerade Funktionen.