Bestimme die Art der Kegelschnitte, die Mittelpunkte und die Scheitelpunkte

Question

Hallo hätte eine Frage,

Bin grad bisschen ratlos. Sitze hier und muss die Aufgabe:

"Bestimmen Sie die Art der Kegelschnitte, die Mittelpunkte und die Scheitelpunkte folgender algebraischer Gleichungen. Fertigen sie jeweils eine Skizze an." erledigen.

b) y² + 2x = 4y (Absolut ratlos)

c) x² - 2x + 4y² + 8y = 2

Zur c) Habe die Gleichung quadratisch ergänzt und komme auf:

(x-1)² + 4(y+1)² = 4

So weit so gut. erkenne das es eine Elipse ergeben soll und weiß nun auch das es M(-1/1) hat. Aber wie zum Teufel bekomme ich die Scheitelpunkte heraus? Oder ist mir beim Quadratischen Ergänzen schon ein Fehler passiert? Da mir a^2 und auch b^2 fehlt für die Bestimmung.

Kann mir mal eine ausführliche Erklärung bitte liefern? Und gleich noch eine Frage muss ich wenn ich algebraische Gleichungen Habe in der Regel immer Quadratisch ergänzen um zu erkennen welcher Kegelschnitt es ist?

Answer 1

y² + 2x = 4y

y² - 4y   =   -2x

y² - 4y  + 4  =   -2x  + 4

(y - 2)²  =   -2 *( x  -2 ) 

erinnert doch stark an    y² =  2px

Comments

(x-1)² + 4(y+1)² = 4

So weit so gut. erkenne das es eine Elipse ergeben soll und weiß nun auch das es M(-1/1) hat. Aber wie zum Teufel bekomme ich die Scheitelpunkte heraus? Oder ist mir beim Quadratischen Ergänzen schon ein Fehler passiert?


Ja!


x² - 2x + 4y² + 8y = 2


x² - 2x + 1  + 4 *(  y² + 2y  )   = 2  + 1


(x - 1)²   + 4 *(  y² + 2y + 1 - 1  )   = 3


(x - 1)²   + 4 *(  y+1) ²   - 4    = 3  


(x - 1)²   + 4 *(  y+1) ²      =   7

(x - 1)² / 7   + (  y+1) ²  /  (7/4)     = 1

Das lässt sich   mit

x² / a²  +  y²/b²   =  1   vergleichen.