Ist U ein Untervektorraum von V = {f:ℝ→ℝ}?

Question

A:  Ist U ein Untervektorraum von V = {f:ℝ→ℝ} ?

(i) U = { f: ℝ→ℝ | f(1) = 0 }                     (ii) U = { f: ℝ→ℝ | f(0) = 1 }                  (iii) U = { f: ℝ→ℝ | f ist ein Polynom vom Grad ≤ n } (n∈ℕ₀)   B: Sei V = { f: ℝ→ℝ | f ist ein Polynom }.    (f ∈ V ⇔ ∃n ∈ ℕ₀, ∃ a₀, a₁, ..., a_n ∈ ℝ mit f(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + .... + a₁ x + a₀, ∀x ∈ ℝ )  Für i ∈ ℕ₀ sei f_i(x) := xⁱ  ∀x ∈ ℝ   zu zeigen: V = [ f₀, f₁, f₂, ... ]

Answer 1

U = { f: ℝ→ℝ | f(1) = 0 }  ja; denn  die 0-Abbildung  (f(x) = 0 für alle x aus IR) ist drin

und mit zweiewn auch deren Summe ; denn f(1)=0 und g(1)=0 dann auch

(f+g)(1) = f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0

und  c*f ist auch für jedes c drin.

 (ii) U = { f: ℝ→ℝ | f(0) = 1 }   nicht, da z.B   0-Abbildung  nicht drin ist.


   (iii) U = { f: ℝ→ℝ | f ist ein Polynom vom Grad ≤ n } (n∈ℕ₀)   klappt

Beweise die drei Teile wie bei (i) .