Zeigen, dass U ein Untervektorraum von V ist

Question

Aufgabe: Zeigen oder widerlegen Sie:

Sei \( A \in K^{m\times n}, \quad b \in K^m \). Sei weiter \( L = Lös(A, b) \subset K^n \).

Angenommen \( L \neq \emptyset \). Dann ist \( U = \lbrace{ x - x' | x,x' \in L \rbrace} \) ein Untervektorraum von \( V = K^n \).

Ansatz:

UV1 ist ja offensichtlich erfüllt.

Zu UV2 ist mein Ansatz folgender:

Seien \( x := v - w \in U, \quad y := z - u \in U\),  mit \( v, w, z, u \in L \).

Dann gilt: \( x + y = (v - w) + (z - u) = v - w + z - u = (v + z) - (w + u) \)

Aber jetzt sind (v + z) und (w + u) ja im Allgemeinen keine Lösungen von Ax = b, weshalb ich darauf geschlossen habe, dass man ein Gegenbeispiel finden müsste. Habe aber leider nach langem Ausprobieren keins gefunden.

Answer 1

Aber jetzt sind (v + z) und (w + u) ja im Allgemeinen keine Lösungen von Ax = b,

Aber:  Elemente von U sind genau die , die als Differenz zweier Lösungen geschrieben

werden können. Die Differenzen zweier Lösungen , sind immer

Lösungen von A*x=0 .

Und wenn x und y solche sind, also Ax=0 und Ay=0 gilt,

dann gilt auch Ax+Ay = 0

also auch A(x+y) = 0 . Und damit ist auch x+y aus U.

Comments

Danke schonmal für die Antwort.

Bis zu deinem letzten Schritt konnte ich deine Ausführungen nachvollziehen.

Aber wie schließt du jetzt von A(x+y) = 0 darauf, dass x+y in U ist, d.h. dass es sich als Differenz zweier Lösungen aus L darstellen lässt?

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Ja, das war etwas knapp.

Es ist ja L≠∅. Also gibt es ein z mit z∈L, also A*z=b

Da A(x+y) = 0 folgt   A*z + A(x+y)  =b

                               bzw. A*( z +(x+y) ) = b

Also sind z und z +(x+y) zwei Elemente von L

und damit deren Differenz in U.