Zeigen das eine Menge, eine Reguläre Kurve definiert

Question

zeigen sie, dass für  $$\alpha > 0$$, $$C_\alpha = \{(x,y) \in \mathbb R ^2 | y^2 + 4x^2(x^2 -1) = \alpha \}$$ eine geschlossene reguläre Kurve ist.

Ich weiß leider nicht wie ich das zeigen soll, obwohl ich die ganzen Begriffe definieren kann und verstehe.

Geschlossen: Eine Funktion f die auf dem Intervall [a,b] definiert ist und für die gilt: f(a)=f(b)

Reguläre Kurve: Eine Kurve ist ja eine Äquivalenzklasse von Wegen. Ein Weg is heißt regulärer wenn seine Ableitung für alle Elemente aus dem Definitionsbereich ungleich 0 ist (also keinen Knick hat).

Kann mir das bitte mal jemand ausführlich erklären, wie ich diese Aufgabe löse

Mfg

Answer 1

Hallo,

mit dem Ansatz

$x(t) = r(t) \cos(t)$,
$y(t) = r(t) \sin(t)$

findet man durch $y^2 + 4x^2(x^2 - 1) = \alpha$ zunächst vier $2 \pi$-periodische $r$, aus denen man mittels der Forderungen $r \in \mathbb{R}$ und $r > 0$ ein eindeutiges auswählt.

Ich komme auf

$r = \pm \sqrt{\frac{-(1 - 5 \cos^2(t)) \pm \sqrt{(1 - 5 \cos^2(t))^2 + 16 \cos^4(t) \alpha}}{8 \cos^4(t)}}$.

Aus den "$\pm$" wird wegen $r > 0$ und $r \in \mathbb{R}$ jeweils das "$+$" ausgewählt. Das $8 \cos^4(t)$ im Nenner mag auf den ersten Blick aus $r$ eine nicht reguläre Größe machen, jedoch sind die Nullstellen des Nenners auch Nullstellen des Zählers, da wir zuvor das "$+$" aus dem inneren "$\pm$" ausgewählt hatten.

Da wir eine $2 \pi$-periodische Darstellung von $x(t)$ und $y(t)$ gefunden haben, können wir auf die Geschlossenheit schließen. Die Regularität ergibt sich aus

$v = \dot{x}$
$= \frac{d}{dt} \sqrt{r^2}$
$= \frac{dr}{dt}$.

Ist $v(t) \neq 0$, so ist die Kurve regulär.

Grüße

Mister