Planimetrie Kreis Umfang + Fläche berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie Inhalt und Umfang der schraffierten Flächen aus den gegebenen Strecken:

Answer 1

Hier eine gute Erklärung zur Berechnung der Fläche

https://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6ndchen_des_Hippokrates

Lösung: Summe vierer Halbkreise mit Seitenlänge als Durchmesser und eines Quadrates minus Kreis mit Diagonale als Durchmesser

Man ziehe vom Kreis mit Radius \( r \) das Quadrat mit Seitenlänge a ab. Übrig bleiben die 4 weißen Kreissegmente.

Nach Pythagoras gilt \( a^{2}+a^{2}=(2 r)^{2} \Leftrightarrow 2 a^{2}=4 r^{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} a^{2}=r^{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} a=r \)

Der Flächeninhalt des Kreises ist also: \( \pi \cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2} a\right)^{2}=\frac{\pi}{2} \cdot a^{2} \) Davon das Quadrat mit Flächeninhalt \( a^{2} \) abgezogen:

\( \frac{\pi}{2} \cdot a^{2}-a^{2} \)

Zieht man nun von den 4 Halbkreisen mit Durchmesser a die Kreissegmente ab erhält man die Möndchen. Die 4 Halbkreise haben eine Fläche von \( 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=\frac{\pi}{2} \cdot a^{2} \)
Halbkreise - Kreissegmente:

\( \frac{\pi}{2} \cdot a^{2}-\left(\frac{\pi}{2} \cdot a^{2}-a^{2}\right)=\frac{\pi}{2} \cdot a^{2}-\frac{\pi}{2} \cdot a^{2}+a^{2}=a^{2} \)

Die Fläche der Möndchen entspricht also der Fläche des Quadrates.

Quelle: https://www.onlinemathe.de/forum/Moendchen-ueber-Quadrate