Kombinatorik in Verbindung mit Bernoulli-Kette. Schachteln mit 20 Stiften.

Question

es geht um folgende Aufgabe:

Eine Maschine befüllt Schachteln mit je 20 Stiften. Die 4 Farben (violet, braun, grün, gelb) sind dabei gleich wahrscheinlich und werden zufällig verwendet.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 Stift in einer Schachtel violet ist?

- Hier habe ich eine Bernoulli-Kette der Länge n=20 angenommen und dafür gibt es für den Fall "mindestens ein Treffer" diese Formel:

P(mindestens ein v. Stift) = 1-(1-p)^n = 1-(3/4)^20 = 0,9968

b) Wie viele mögliche Farbzusammenstellungen gibt es für die Schachteln?

- Hier bin ich von einer ungeordneten Stichprobe mit Zurücklegen ausgegangen (k=20 aus n=4)

Möglichkeiten:  (n+k-1) über k       = 1771 Möglichkeiten

c) Wie viele mögliche Farbzusammenstellungen gibt es unter der Bedingung, dass jede Farbe mindestens einmal vorkommen muss?

Hier stehe ich auf dem Schlauch.. wie geht das? Und sind meine Ergebnisse in a) und b) richtig?

Answer 1

a) würde ich auch so rechnen. Rest muss ich mir noch überlegen.

Ohne Gewähr zu b) und c)

b) Wie viele mögliche Farbzusammenstellungen gibt es für die Schachteln?

- Hier bin ich von einer ungeordneten Stichprobe mit Zurücklegen ausgegangen

Möglichkeiten:  (20 +4 -1) über 3       = (23 tief 3)

c) Wie viele mögliche Farbzusammenstellungen gibt es unter der Bedingung, dass jede Farbe mindestens einmal vorkommen muss?

Erst mal von jeder Farbe einen Farbstift in die Schachtei. 1 Mögl.  
Und dann: ungeordneten Stichprobe mit Zurücklegen ausgegangen (k=16 aus n=4)

Möglichkeiten:  (16+4-1) über 3       = 

D.h.

1 * (19 tief 3) 

Comments

warum bei b) über 3?

Ich habe die 4 verschiedenen kombinatorischen Figuren so kennengelernt. Und k wäre doch eindeutig 20..

und es sind doch 4 verschiedene Farben, aus denen 20 Proben genommen werden also n=4 und k=20

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Das Resultat ist dasselbe, wie (23 tief 20) , da (23 tief 20) = (23 tief 3) .

Ich rechne im Prinzip ungeordnet und ohne Zurücklegen und mache das so:

Fiktive Farbstiftschachtel mit 20 Stiften nebeneinander: Die Farben: Links alle violetten, dann alle braunen, dann alle  grünen, dann alle  gelben. Ausserdem maximal 3 Farbwechsel. 

Wenn z.b. nur gelbe Stifte drinn sind habe ich zuerst 3 Farbwechsel und dann 20 gelbe Stifte.

Farbwechsel an Positionen 10, 11, 12 heisst

9 violette und 23-12= 11 gelbe Stifte.

D.h. man kann für die Farbwechsel 3 der 23 Positionen auswählen. Also (23 tief 3) Farbkombinationen bei b.