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Gegeben seien die Polynome p1(x)= x-5, p2(x)= 3, p3(x)= 2x+1 und p4(x)= -2x

Die Aufgabe lautet: a) Ist P = (p1,p2,p3,p4) ein Erzeugendensystem von R<=(x) ?

b) Geben Sie aus p1,....,p4 eine Basis des R<=1(x) an.

Danke..
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Zu a)

P (p1, p2, p3, p4) ist genau dann ein Erzeugendensystem des R≤1(x) wenn sich jedes Polynom vom Grade ≤ 1 durch eine Linearkombination der Polynome aus P darstellen lässt, wenn es also A, B, C und D ∈ R gibt, sodass für alle a, b ∈ R gilt:

a x + b = A * p1 + B * p2 + C  * p3 + D * p4

Setzt man die Polynome ein, dann muss also gelten:

a x + b = A * ( x - 5 ) + B * 3 + C * ( 2 x + 1 ) + D * ( - 2 x )

= A x - 5 A + 3 B + 2 C x + C - 2 D x

= ( A + 2 C - 2 D ) x + ( - 5 A + 3 B + C )

Das ist dann der Fall, wenn folgendes Gleichungssystem lösbar ist (Koeffizientenvergleich):

A + 2 C - 2 D = a
- 5 A + 3 B + C = b

Die Lösung mit dem Gauß-Verfahren ergibt, dass es unendlich viele Lösungen dieses Gleichungssystems gibt. Insbesondere kann man C und D frei wählen. Setzt man daher C = 0 und D = 0, so erhält man:

A = a
B = ( b + 5 a ) / 3

Beispiel:

Gegeben sei das Polynom a x + b = 5 x - 3 ∈ R≤1(x)

Dann ist:

A = a = 5
B = ( b + 5 a ) / 3 = ( - 3 + 25 ) / 3 = 22 / 3

Also lässt sich 5 x - 3  darstellen als Linearkombination 

A * p1 + B * p2 = 5 * p1 + ( 22 / 3 ) * p2

Nachrechnen:

A * p1 + B * p2 = 5 * ( x - 5 ) + ( 22 / 3 ) * 3 = 5 x - 25 + 22 = 5 x - 3

 

P (p1, p2, p3, p4) ist daher ein Erzeugendensystem des R≤1(x)

zu b)

Allerdings ist P offenbar kein minimales Erzeugendensystem, denn wie unter a) gezeigt, werden die Polynome p3 und p4 gar nicht benötigt. Jedes Polynom aus R≤1(x) kann als Linearkombination nur der Polynome p1 und p2 dargestellt werden. Daher ist

P* = ( p1, p2 )

eine Basis des R≤1(x).

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