Finde b so dass n2= 12 * b eine Quadratzahl ist. Zahlentheorie

Question

Man soll Zahlen für b finden für die gilt:

n²= 12 * b

Also 12 multipliziert mit b soll eine Quadratzahl sein.

Am besten ohne Rechner also ich hätte die Idee mit Primfaktorzerlegung ?

Answer 1

b = 12 geht doch sicher.

Welche anderen Werte fur b gehen noch?

b = 12 * z² ?

Comments

Könnte man dann nicht die geraden Exponenten der 12 nehmen oder gibt es noch

andere Lösungen ?

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Hast du meinen Beitrag oben vollständig und aufmerksam gelesen. Bitte bei Bedarf so lange wiederholen bis der Groschen fällt.

Answer 2

Am besten ohne Rechner also ich hätte die Idee mit Primfaktorzerlegung?

Die Idee ist gut und führt sofort zum Ergebnis, also weiter so!

Comments

Könnte man dann nicht die geraden Exponenten der 12 nehmen oder gibt es noch

andere Lösungen ?

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Betrachte die Primfaktorzerlegung von 12!

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Dann habe ich dann n*= 2*3*3*b stehen und dann ?

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12                    

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Dann habe ich dann n*= 2*2*3*b stehen und dann ?

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$$ n^2 = 2^2 \cdot 3 \cdot b $$Wie muss \(b\) jetzt beschaffen sein?

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Ich erkenne leider noch nicht die Struktur

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Ok, dann nimm doch mal ein paar einfache Beispiele für \(b\), etwa \(b=75\) oder \(b=3006003\), und überlege, warum diese Beispiele die genannte Bedingung erfüllen. Die Beschreibung aller \(b\) erfordert höchstens eine halbe Zeile.

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Naja, für die 75 ergebe es ja 75.

Es wäre nett, wenn du mir das sagen könntest.

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Naja, für die 75 ergebe es ja 75.

Was meinst du damit?

Es ist \(12 \cdot 75 = 30^2 \) eine Quadratzahl.

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Ja, richtig.

Ich verstehe nur noch nicht wie du auf diese 75 kommst bzw. erkenne ich die Struktur ist.

Könntest du mir das bitte sagen ?

Ich verzweifle gerade daran.

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Man soll Zahlen für b finden für die gilt: n² = 12 * b

Also: Wir haben herausgefunden, dass der Primteiler 2 zweimal und der Primteiler 3 einmal in der 12 enthalten sind. Nun ist \(2^2\) offensichtlich bereits quadratisch. Die Zahl \(b\) muss also die 3 zu einem Quadrat vervollständigen und darf darüberhinaus soviele quadratische Primpotenzen mitbiringen, wie sie will. Die möglichen \(b\) sehen also so aus:

$$ b \in \left\{ 3 \cdot z^2 \quad|\quad z \in \mathbb{Z}\right\}. $$

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Also muss b multipliziert mit 3 eine quadratzahl sein um es so zusagen.

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Hallo Gast az0815,

gut gelesen und gut abgeschrieben.

Grüße,

M.B.

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Also muss b multipliziert mit 3 eine quadratzahl sein um es so zusagen.

Nein, b muss das Dreifache einer Quadratzahl sein!

Answer 3

n²= 12 * b 

36 ist eine Quadratzahl, also könnte man b=3 wählen.

Bestimmt geht auch noch etwas anderes .

n² = 2² * 3 * 3  = (2*3)²

Allgemeiner

n² = 2^2+2k * 3^{1 +2m +1} = 2² * 3 * 2^2k * 3^2m+1, wobei k und m natürliche Zahlen (inkl. 0) 

Also b = 2^2k * 3^2m+1, wobei k und m natürliche Zahlen (inkl. 0) 

Comments

Eigentlich finde ich, dass der Fragesteller selbst mal etwas zur Lösung beitragen könnte, aber du hast ihm ja netterweise noch genug übrig gelassen! :-)

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Ja, die 3 hatte ich auch...

Wie bist du auf die Allgemeine Form gekommen von der Primfaktorzerlegung aus ?