Bild(f) ist ein Unterraum

Question

Ich schaue mir gerade einen Satz an und frage mich wie man den beweist. Der Satz besagt:

 Sei f∈Hom(V, W). Dann gilt:

Bild(f) ⊂ W ist ein Unterraum

Mein Beweis:

Seien w_1, w_2 ∈ f(V). Es gibt dann v_1, v_2 ∈ V mit f(v_1) = w_1 und f(v_2) = w_2. Es folgt dass

w_1 + w_2 = f(v_1) + f(v_2) = f(v_1 + v_2) ∈ f(V) (Weil f linear da f ∈ Hom(V,W))

und:

λ*w_1 = λ* f(v_1) = f(λ*v_1) ∈ f(V) ∀λ∈K

ALso ist f(V) = Bild(f) ein Unterraum.

Meine Frage ist aber muss man nicht auch noch zeigen, dass Bild(f) nicht leer ist? Oder reicht das so schon? Und falls man noch zeigen muss das Bild(f) nicht leer ist, wie kann man das machen?

Gruss

Answer 1

Muss gezeigt werden, ist aber trivial: Sei v ∈ V (n.b. V≠ ∅ weil 0∈V).  Dann ist f(v) ∈ Bild(f). Also ist Bild(f) ≠ ∅.

Comments

Ah ok und 0∈V da bei linearen Abbildungen f(0)=0 gelten muss? Sind bei einer linearen Abbildung f: V->W dann immer V,W≠∅ weil Sie 0 enthalten müssen?

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> Ah ok und 0∈V da bei linearen Abbildungen f(0)=0 gelten muss?

Nein. 0∈V weil V ein Vektoraum ist und jeder Vektorraum ein neutrales Element der Addition besitzt.

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Ach ja stimmt das habe ich komplett übersehen.