Reduziere kubische Formel

Question

genau wie eben mit Substitution

x³ -5x² +3x +9=0

x = z - (-5)/3     x = z+5/

(z+5/3)³ -5 (z+5/3)² + 3 (z+5/3) + 9 = 0

zwischenrechnung

(z+5/3)³= (z +5/3) (z+5/3) =( z² + 10/3z + 25/9) (z+5/3) = z³ +5/3z² + 10/3 z² + 50/9z + 25/9 z + 125/27

z³ +15/3z²  + 75/9z + 125/27 - 5z² - 50/3z - 125/9 + 3z + 15/3 + 9 = 0

z³ +15/3z²  + 75/9z + 125/27 - 15/3z² - 150/9z - 125/9 + 27/9/z + 45/9 + 27/9 = 0

z³ + 48/9z - 169/9  = 0

soweit richtig?

und wie jetzt weiter?

Answer 1

Hallo brixx,

ich erhalte  z^3 - 16/3 ·z + 128/27 = 0

Für die weitere Lösung kannst du  hier  nachlesen.

Gruß Wolfgang

Comments

z³ +15/3z²  + 75/9z + 125/27 - 5z² - 50/3z - 125/9 + 3z + 15/3 + 9 = 0

z³  + 75/9z + 125/27 - 150/9z - 125/9 + 27/9z + 135/27 + 243/27 = 0

z^3  - 16/3z + 128/27 

alles klar, vielen Dank, der Rest dauert jetzt kurz  

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Zur Kontrolle:

Es gibt zwei Lösungen  z₁ = 4/3 und  z₂ = - 8/3

→ x₁ = 3 und x₂ = -1

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hmmmm.... hab erstmal nur z = -2,666666666

soweit richtig??

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also bei mir steht da:

z = ³ √-128/54 + √(128/54)² + (-16/3)³/27)  +  ³ √-128/54 - √(128/54)² + (-16/3)³/27

z³ = ³ √-128/54 + √(16384/2916) + (-4096/729)  +  ³ √-128/54 - √(16384/2916) + (-4096/729)

z³ = ³ √-128/54 + √(4096/729) + (-4096/729)  +  ³ √-128/54 - √(4096/729) + (-4096/729)

z³ = ³ √-128/54 + √0  +  ³ √-128/54 - √0

z³ = -1,33333  -1,333333

z³ = -2,666666666

z = -1,386723

was sagst du?

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dein z³ ab der 2. Zeile macht wohl keinen Sinn, also z = -2,666666666 ≈ - 8/3

Die zweite (doppelte) Lösung kannst du nur finden, wenn du mit komplexen Zahlen rechnest:

z³ + pz + q = 0

p = -16/3 , q = 128/27 ,   D = √[ (p/3)³ + (q/2)² ]

z₁ = ³√[ -q/2 + √D ] + ³√[ -q/2 - √D ]

z₂ =  ( - 1/2 + √3/2 · i ) • ³√[ -q/2 + √D ] + ( - 1/2 - √3/2 · i ) • ³√[ -q/2 - √D ]

z₃ =  ( - 1/2 - √3/2 · i ) • ³√[ -q/2 + √D ] + ( - 1/2 + √3/2 · i ) • ³√[ -q/2 - √D ]

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ok, wie ich da auf z³ gekommen bin weiß ich auch nicht :-)

also z = -2,666666666 

Damit könnte ich doch jetzt auch erstmal rücksubstituieren, also 

x = z +5/3      x = -1   zum Verständnis, x = -1 ist eine Nullstelle, richtig?

Dann hab ich mittlerweile herausgefunden, dass ich jetzt durch Polynomdivision weitere Lösungen ermitteln soll. Also:

 (z^3  - 16/3z + 128/27) : ( z + 8/3) = z² - (8/3)z + 16/9

Dann weiter mit pq Formel:

z² - (8/3)z + 16/9 = 0   

z_1,2 = 8/6 +/- √ (-8/6)² - 16/9

z_1,2 = 8/6 +/- √ (64/36) - 16/9

z_1,2 = 8/6 +/- √ (16/9) - 16/9

z_1,2 = 8/6 +/- √ 0

z = 8/6 = 4/3

wieder rücksub.

x=z+5/3   x = 9/3 = 3

Also 2 Nullstellen x1= -1 und x2=3

Das kann ich mit Diskriminante Prüfen:

D= (p/2)² + (p/3)³   p = -16/3    q = 128/27

D= (-16/6)² + (128/81)³ 

       (-64/9) + (2097152/531441) 

D= -7,11111 + 3,946

D = - 4,1111 

D ist also kleiner als Null und damit gibt es drei verschiedene reelle Lösungen ???

Also so versteh ich das aus meinem Skript. Kommt aber ja mit meiner Lösung nicht hin. Von komplexen Zahlen steht da noch gar nichts.... aber würde dann ja trotzdem mit deinen drei Lösungen passen.

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Es gibt drei reelle Lösungen. Diese müssen aber nicht verschieden sein.

x_2,3 = 3 ist eine doppelte Lösung:

x³ - 5x² + 3x + 9 = (x + 1) · (x - 3)²

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ja ok, dann hab ich es ja endlich :-) herzlichen Dank!!!!!

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immer noch immer wieder gern :-)

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habs doch noch nicht ganz ... woher weiß ich, dass 3 eine doppelte Nullstelle ist?

Übrigens hab ich mit bei dem D versehen mit p und q, Ergebnis bleibt aber <0 also alles ok ;-)

bzw. ich seh grad, in meinem Skript steht bei D<0 gibt es drei verschiedene reelle Lösungen?

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z_1,2 = 8/6 +/- √ 0    → doppelte Nullstelle !

x³ - 5x² + 3x + 9 = (x + 1) · (x - 3)²  → doppelte Nullstelle !

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D ist übrigens 0, hab mich mal wieder verrechnet ;-)

Jetzt passt es aber, denn wenn D = 0 gibt es eine doppelte und eine einfache reelle Lösung laut meinem Skript :-)