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Bestimm Sie die Lösungen der kubischen Gleichung. Bestimmen Sie dazu zunächst die reduzierte Form.

x3 - 6x2 + 12x -8 = 0

Mein Versuch der Substitution mit x = z - a/3

(z-a/3)3 - 6(z-a/3) +12(z-a/3) -8=0

z3   -   3(az2)/3   +   3(a2z)/3   -   a3/27   -   6z2   +   (12az)/3   -   (6a2)/9   +   12z   -   (12a)/3   -   8 =0

z3   -   az2   +   a2z   -   a3/27   -   6z2   +   4az   -   (2a2)/3   +   12z   -   4a   -   8   =   0

???? Mein Gefühl sagt mir, da stimmt was nicht, kann jemand helfen?

Avatar von

Vielleicht solltest Du erstmal rauskriegen, was mit a gemeint ist.

a=6?

also

x3 - 6x2 + 12x -8 = 0

x = z - 6/3

(z-2)3 - 6(z-2)2 +12(z-2) -8 = 0

usw?

Rechne es aus und kontrolliere, ob beim Polynom in z der quadratische Anteil weggefallen ist. Das ist der Sinn der Substitution.

Tipp: a=-6 :3

ok, passt nicht :-(

ok, nochmal mit -6 ;-)

dann steht da z3 = 0 ??

Ja, das wird ganz einfach durch die Substitution hier :)

ok wie heißt dann jetzt die reduzierte Form??

Ja, z^3=0 ist die reduzierte Form.

ok, super, das ja schon mal n Anfang :-)

Mein Lösungsversuch ist weiter unten, aber glaub ist mal wieder falsch :-(

3 Antworten

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z3   -   az2   +   a2z   -   a3/27   -   6z2   +   4az   -   (2a2)/3   +   12z   -   4a   -   8 - a3/27 - 2/3·a2  =   0

Da, wo rote Zahlen stehen stimmt etwas nicht. Die Substitution erscheint mir auch nicht zweckmäßig. Warum soll man zunächst die reduzierte Form bilden, wenn sich die Lösung x=2 ohne weiteres raten lässt?

Avatar von 123 k 🚀

Sehe ich auch so! +1 von mir

weil meine Professorin das leider so will. Um sinnvoll oder nicht scheint es - wie so oft - nicht zu gehen

Können alternativ auch folgende Gleichung so lösen

x3 -5x2 +3x +9=0

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Hi die reduzierte Form ist:

(x-2)^3

die Lösung ist dann

x=2

Beste Grüße!

Avatar von 3,1 k

vielen lieben Dank, aber ich muss die Substitution leider verstehen :-(

Da muss eigentlich nichts substituiert werden ;-)

Oder steht das in der Aufgabenstellung?

ich soll die reduzierte Form ermitteln. d.h. ich muss auch den Weg dahin zeigen.

Das ginge auch mit zweifacher Polynomdivision


Wäre dann:

x^3-6x^2+12x-8/(x-2)=x^2-4x+4


x^2-4x+4/(x-2)=x-2


Also

(x-2)(x-2)(x-2)=(x-2)^3

ja, ich weiss, das ist aber leider nicht gefragt. Ich MUSS die Substution machen

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Hallo brixx,

x3 - 6x2 + 12x - 8 = 0 ;  x = z - a/3

(z-a/3)3- 6·(z-a/3)2 +12·(z-a/3) - 8 = 0

Klammern ausrechnen und zusammenfassen:

:z3 - z2·(a + 6) + z·(a2 + 12·a + 36)/3 - (a3 + 18·a2 + 108·a + 216) / 27 = 0

z2 verschwindet mit a = - 6.  Der gesamte Term ergibt dann

z3  = 0      [  ⇔ (x - 2)3 = 0 ] 

Das ist die reduzierte Form  ( = Term ohne Summand mit z2 )

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

hm ich hab da x3 = 0??

Mit a = - 6 ergibt sich wie oben  z3 = 0.

mit  x = z - a/3 = z - (-6)/3 = z + 2    →  z = x - 2  →  (x-2)3 = 0

ok also die reduzierte Formel lautet

z3 = 0

Wenn ich jetzt die Lösung für die Gleichung suche rechne ich

(x-2)3 = 0

Klammer auflösen:

x3 -9x2 -9x +27 = O

x (x2 -9x-9) +27 =0

Durch ausklammern x1 = 0

Dann mit pq Formel

x1,2 = 9/2 +/- √(-9/2)2 -27

geht nicht, weil unter der Wurzel negativ???

(x-2)3 = 0                 [ nicht ausmultiplizieren ! ]

 (x-2) * (x-2) * (x-2) = 0

            ein Produkt ist genau dann = 0, wenn mindestens ein Faktor = 0 ist: 

⇔  x - 2 = 0   ⇔  x = 2

ok, vielen Dank.

was ist mit meiner Überlegung (x+2)3 auszurechnen und dann ein x auszuklammern? Dann wäre doch x = 0 ein weiteres Ergebnis, oder zählt das nicht,, weil die pq-Formel dann kein Ergebnis liefert?

bzw. seh grad ich hab mich da verrechnet

x3 -6x2 + 12x -8 = 0

x (x2 -6x + 12) -8 = 0

also x1 = 0

x2 -6x +4 = 0

mit pq:

x = 6/2 +/- √(-6/2)2 -4

x1 = 3+√5

x2 = 3 -√5

oder? Aber dann hätte ich ja 4 Lösungen, das darf ja nicht

x3 - 6x+ 12x - 8 = 0

wenn du x komplett ausklammerst, hast du x · (x2 -6x + 12 - 8/x )   = 0 und in der Klammer funktioniert die pq-Formel nicht mehr.

x · (x2 -6x + 12)  -  8 = 0    macht keinen Sinn,  weil du dann kein Produkt sondern eine Differenz hast, und dann funktioniert der Nullproduktsatz nicht.

(x-2)3 = x3 - 6x+ 12x - 8 = 0  hat einfach nur die (dreifache) Lösung  x = 2 


alles klar

wollen wir die nächste auch gleich? ;-)

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:-) alles klar

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