Definitheit einer Norm zeigen

Question

sei $$p: V \to \mathbb R $$ und $$|| ||_{C1,\infty}: V \to \mathbb R $$ zwei Abbildungen. Wobei $$V:=C^1 ([0,1],\mathbb C)$$ ist.

Ich soll zeigen, dass

$$p(f):=||f'||_\infty$$ keine Norm definiert.

Die absolute Homogenität und Dreiecksungleichung habe ich bereits gezeigt.  Also muss die Definitheit nicht erfüllt sein und hier komme ich nicht weiter.

$$||f'||_\infty = 0 \Rightarrow \quad f'=0$$

Ich erkenne denn Widerspruch nicht in dieser Aussage. f'=0 kann doch null sein (sie ist ja immernoch stetig).

Answer 1

> ||f'||_∞ = 0 ⇒ f'=0

Ist richtig. Verlangt ist aber, die Normeigenschaft von p zu zeigen, also p(f) = 0 ⇒ f=0. Nach Definition von p muss dazu gelten

        ||f'||_∞ = 0 ⇒ f=0.

Vergleiche das mal mit dem wo du keinen Widerspruch gefunden hast.

Comments

$$ ||f'||_\infty = 0 \Rightarrow f=0 $$ Die Implikation ist nicht korrekt. f könnte auch eine konstante funktion sein

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> f könnte auch eine konstante funktion sein

Genauer gesagt, f könnte eine von der Nullfunktion verschiedene konstante Funktion sein. Womit dann gezeigt ist, dass p nicht positiv definit ist.