Wie berechne ich E(Yr) und Var(Y)?

Question

Abend :)
Ich muss bei einer Aufgabe den Erwartungswert von Y^r berechnen und Var(Y). Leider muss ich zugeben, dass ich da überhaupt keine Ahnung habe, wie ich die Aufgabe angehen soll.
X(Ω) = {0, 1, . . . , n}, n ∈ N und X ∼ Bin(n, p), p ∈ (0, 1), g(x) = 2x , Y=g(x), r ∈ℕ
Das habe ich bisher:$$E({ Y }^{ r })\quad =\sum _{ x\in \Omega }^{ }{ [g(x)]^{ r } } \cdot \quad P(X=x)\quad =\quad \sum _{ k\quad =\quad 0\quad }^{ n }{ { 2 }^{ kr } } \cdot \quad \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) \cdot p\cdot { (1-p) }^{ n-k }$$
Danke schon einmal für eure Hilfe!

Comments

Kann es sein, dass da $(2k)^r$ statt $2^{kr}$ stehen soll?

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Es fehlt auch ein $k$ über dem $p$, oder? Es muss sein $\binom{n}{k} p^k$ statt $\binom{n}{k} p$.

Answer 1

die Formel stimmt fast. Du kannst schreiben

$\mathbb{E}(Y^r) = \sum_{x \in \Omega} (g(x))^r P(X = x)$

$= \sum_{k=0}^{n} (2k)^r \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

$= 2^r \sum_{k=0}^{n} k^r \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

$= 2^r \mathbb{E}(X^r)$.

Das heißt, das $r$-te Moment von $Y$ lässt sich über die obige Formel auf das $r$-te Moment von $X$ zurückführen.

Wenn dir nun momentenerzeugende Funktionen geläufig sind, dann kannst du (https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung#Momenterzeugende_Fu…) die momentenerzeugende Funktion von $X$ nutzen. Sie lautet

$m_X(s) = (p e^s + (1-p))^n$.

Das $r$-te Moment von $X$ ist

$\mathbb{E}(X^r) = \frac{d^r}{ds^r} m_X(s) \mid_{s = 0}$.

Das $r$-te Moment von $Y$ ist folglich

$\mathbb{E}(Y^r) = 2^r \mathbb{E}(X^r) = 2^r \frac{d^r}{ds^r} m_X(s) \mid_{s = 0}$.               (1)

Die Varianz von $Y$ ist

$\mathrm{Var}(Y) = \mathbb{E}(Y^2) - \mathbb{E}(Y)^2$.

Diese kannst du mit Hilfe des vorher durch (1) berechneten ersten und zweiten Moments von $Y$ ausrechnen.

Mister