Konvergenz mit hilfe grenzwert

Question

Könnte mir jemand helfen bin überfordert,  unsere Definition war das eine Folge konvergiert gegen einen Grenzwert oder Limes Falls für alle ε>0 ein N=N(ε) existiert,  das  die Ungleichung |an-a| <ε gilt. 

Comments

EDIT: Du musst die Definition 2.6 verwenden. In der Regel solltest du die dann hinschreiben, damit du eine Antwort erhalten kannst, die auch akzeptiert wird.

Answer 1

a_n =  \(\frac{n+1}{2n+1}\)  ;   zu zeigen: lim_n→∞ a_n  = 1/2

Beweis:  

Sie ε ∈ ℝ⁺ beliebig aber fest.

Wähle  N = N(ε) = ⌈1/ε⌉  ( = nächste ganze Zahl die größer oder gleich  1/ε ist )

 sei nun n > N  dann gilt:

| a_n - 1/2 |  =  | \(\frac{n+1}{2n+1}\) - \(\frac{1}{2}\) |  =  |\(\frac{2·(n+1) - (2n+1)}{2·(2n+1)}\)|  =  |\(\frac{1}{4n+2}\) | =  \(\frac{1}{4n+2}\) < \(\frac{1}{n}\)   < \(\frac{1}{N}\)  ≤ ε 

also:  | a_n - 1/2 |  < ε  für n > N(ε)   →   lim_n→∞ a_n  = 1/2  

Gruß Wolfgang