Framilie F linear unabhängig, Basisergänzung

Question

Entscheide für jede der folgenden Familien F in ℝ⁴, ob F linear unabhängig über ℝ ist. Falls dies der Fall ist, ergänze F zu einer Basis von ℝ⁴:

(a) F = (v₁,v₂) mit v₁ = (1,2,3,4), v₂ = (2,3,4,5);

Wäre schön wenn mir jemand auch nur den Ansatz erklären könnte wie diese Aufgabe zu lösen ist.

Answer 1

F = (v₁,v₂) mit v₁ = (1,2,3,4), v₂ = (2,3,4,5);lin. unabh. auf jeden Fall, denn bei zweien musst du ja nur schauen
ob einer Vielfaches des anderen ist, ist aber hier nicht so.

v2 - 2v1 = ( 0; -1 ; -2 ; -3 ) und

v2 - 1,5v1 = ( 0,5 ; 0 ; -0,5 ; -1 )

mit den beiden bekommst du in den ersten beiden Komponenten alle

vorgegebenen Werte erzeugt.  Also kannst du deine

Familie durch ( 0;0;1;0) und ( 0;0;0;1 )

zu einer Basis ergänzen.