Stetigkeit der Funktion g(x)=(x-1)/(x^2+1) an der Stelle x0=-1

Question

$$g:R\rightarrow R,g\left( x \right) =\frac { x-1 }{ { x }^{ 2 }+1 }$$

Untersuche die Funktion mittels ε-δ-Definition an der Stelle x₀= -1 auf Stetigkeit.

Die Definition dafür lautet: $$\forall \varepsilon >0\exists \delta >0\forall x\in A\left| x-{ x }_{ 0 } \right| <\delta :\left| f(x)-f({ x }_{ 0 }) \right| <\varepsilon$$

Ich habe bisher:

$$\left| g(x)-g({ x }_{ 0 }) \right| =\left| \frac { x-1 }{ { x }^{ 2 }+1 } -\frac { -2 }{ 2 }  \right| =\left| \frac { x-1 }{ { x }^{ 2 }+1 } -\frac { -{ x }^{ 2 }+1 }{ { x }^{ 2 }+1 }  \right| =\left| \frac { { x }^{ 2 }+x }{ { x }^{ 2 }+1 }  \right| $$

Ab hier hab ich einige Versuche unternommen das Ganze abzuschätzen, um das x zu eliminieren und gleichzeitig etwas in Form von (x-x₀) zu erhalten.

z.B.: $$=x*\left| \frac { (x+1) }{ (x+\frac { 1 }{ x } ) }  \right| \le x*\frac { \delta  }{ (x+\frac { 1 }{ x } ) } =\frac { \delta *x }{ { x }^{ 2 }+1 } \le \frac { \delta *x }{ x+1 } \le \frac { \delta *x }{ \delta  } =x$$

oder etwas anderes, wo ich dann $$\delta=\varepsilon*x$$ rausbekam.

Da von der Überlegung her nur noch deltas und x₀ am Ende übrig sein sollten, gehe ich davon aus, dass mir irgendwo ein Fehler unterlaufen ist.

Ich bitte um Erleuchtung.

LG

Answer 1

$$ \epsilon >0\\Wähle \quad \delta<2\epsilon:\\|f(x)-f(-1)|=|\frac { x-1 }{ x^2+1 }+1|\\=|\frac { x-1 }{ x^2+1 }+\frac { x^2+1 }{ x^2+1 }|\\=|\frac { x-1+x^2+1 }{ x^2+1 }|\\=|\frac { x^2+x }{ x^2+1 }|\\=|\frac { x(x-(-1)) }{ x^2+1 }|\\=|x-(-1)||\frac {x }{ x^2+1 }|\\<\delta|\frac {x }{ x^2+1 }|\\<=\delta\frac {1 }{ 2 }<2\epsilon\frac {1 }{ 2 }=\epsilon $$

Comments

danke, dann war meine erste Idee mit dem x ausklammern wohl schon die richtige, halt nur für den Zähler ;)