Ist diese Abbildung injektiv bzw. surjektiv? Bestimmen Sie h ((1,1,1)^T) und h ((2,1,3)^T)

Question

Die komplette Aufgabenstellung lautet:

Eine lineare Abbildung h: R^3 -> R^2 erfülle die Gleichungen

h((1,0,0)^T) = (0,1)^T   ,   h((0,1,0)^T) = (1,0)^T   ,   h((1,2,3)^T = (1,-1)^T

Ist diese Abbildung injektiv bzw. surjektiv? Bestimmen sie h((1,1,1^T) und h((2,1,3)^T).

Das große Problem bei der Aufgabe ist, dass keine Funktion gegeben ist, wir wissen leider nicht wie wir an diese Aufgabe rangehen sollen. Wie kann etwas vom R^3 ins R^2 abgebildet werden? Ich hoffe ihr könnt uns weiterhelfen :/

Answer 1

h((1,0,0)^T) = (0,1)^T   ,   h((0,1,0)^T) = (1,0)^T   ,   h((1,2,3)^T = (1,-1)^T

die Vektoren (1,0,0)^T ,(0,1,0)^T  (1,2,3)^T    bilden eine Basis von IR³.


Damit kannst du jeden Vektor von IR³ darstellen,

etwa auch (1,1,1^T) = (2/3) *(1,0,0)^T  +(1/3)*(0,1,0)^T + (1/3)*  (1,2,3)^T   

also ist h((1,1,1^T) = h ( (2/3) *(1,0,0)^T +(1/3)*(0,1,0)^T + (1/3)*  (1,2,3)^T    )

also wegen der Linearität

= (2/3) *h((1,0,0)^T)  +(1/3)*h((0,1,0)^T )+ (1/3)*  h((1,2,3)^T    )

=  (2/3) *(0,1)^T  +(1/3)*(1,0)^T + (1/3)*  (1,-1)^T   

=  (   2/3  ;   1/3 ) ^T 

 surjektiv ist es, weil schon die ersten zwei Bildvektoren

eine Basis von IR² sind und Injektiv nicht, weil

die Summe der ersten beiden von IR³ das gleiche Bild

hat wie der 3.