5 a) ist diese Abbildung injektiv oder surjektiv? f: N -> N , n -> n + 3

Question

Wir betrachten die Funktion

f: N -> N

n -> n + 3 ist diese abbildung surjektiv oder injektiv? begruenden sie ihre antworten

Answer 1

Sie ist nicht surjektiv, weil kein n in N existiert, so dass n + 3 = 2 ist, 2 ist aber in der Wertemenge N.

Sie ist injektiv, weil aus f(n1) = f(n2), n1 + 3 = n2 + 3 direkt folgt, dass n1 = n2 sein muss.

Comments

wieso 2 wie kommt man auf 2?

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Das war nur ein Beispiel mit der 2. Mehr braucht man auch nicht für einen Gegenbeweis.

Wenn f surjektiv wäre, würde es für alle y in der Wertemenge ein n geben, so dass f(n) = y ist. Aber für y = 2 gibt es kein n aus den natürlichen Zahlen, so dass n+3 = 2 ist. Oder kennst du eine natürliche Zahl, die du für n einsetzen kannst, damit diese Gleichung stimmt? Das könnte man nur im Bereich der ganzen Zahlen. n wäre dann -1. Darf es aber nicht sein, weil die Definitionsmenge die natürlichen Zahlen sind.

Answer 2

die Abbildung ist nicht surjektiv, da wir durch f nicht auf die Elemente 1, 2 und 3 im Bildraum abbilden können.

Sie ist allerdings injektiv, denn aus f(n) = n + 3 ≠ m + 3 = f(m) folgt n ≠ m.

MfG

Mister