Intervalle, in denen die Funktion f3(x) = (x^3 -5)/(x^3 +x^2 -4x +6) monoton steigend sind, bestimmen.

Question

Berechen Sie alle Intervalle, in denen die Funktion f₃ = (x³ -5)/(x³ +x² -4x +6) monoton steigend sind.

Answer 1

Hallo ziom,

f(x)  =  (x³ - 5) / (x³ + x² - 4x + 6)  ,  Monotonieintervalle ↑

Die x-Achse wird durch die Definitionslücken und die Nullstellen von f ' in Intervalle unterteilt, in denen die Steigung f ' ein konstantes Vorzeichen hat, das man durch einfaches Einsetzen von Werten aus den einzelnen Intervallen in die Funktionsgleichung herausfinden kann. So findet man alle Monotonieintervalle mit dem zugehörigen Steigungungsverhalten.

Definitionslücken:

x³ + x² - 4x + 6 = 0

Man findet  x = 3  (Teiler von 6)  durch Probieren und führt dann die Polynomdivision

(x³ + x² - 4x + 6) : (x + 3) =  x² - 2·x + 2  durch.

x² - 2·x + 2 = 0 ergibt dann keine weiteren reellen Nullstellen.

Nullstellen von f ':

f '(x) = (x^4 - 8·x^3 + 33·x + 10·x - 20) / (x^3 + x^2 - 4·x + 6)^2  = 0

 ⇔_D   x^4 - 8·x^3 + 33·x + 10·x - 20 = 0

Die beiden reellen Lösungen  x₁  ≈ 0,6853703660  ;  x₂  ≈ - 0,8380768377

findest du am einfachsten mit einem Näherungsverfahren (z.B. Newtonverfahren)

Gruß Wolfgang

Comments

Können Sie mir sagen, wie Sie auf x⁴ - 8·x³ + 33·x + 10·x - 20 gekommen sind?
Für Ihre Hilfe bedanke ich mich im Voraus.

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Quotientenregel:

[ u / v ] ' = ( u ' * v - u * v ' ) / v²

In der Klammer (...)   Zähler und Nenner - bzw. deren Ableitungen - einsetzen, Klammern auflösen und zusammenfassen.

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Können Sie mir noch sagen , mit welchem Gleichung auf  - 0,8380768377 gekommen sind?

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 x⁴ - 8·x³ + 33·x + 10·x - 20 = 0

Die beiden reellen Lösungen  x₁  ≈ 0,6853703660  ;  x₂  ≈ - 0,8380768377

findest du am einfachsten mit einem Näherungsverfahren (z.B. Newtonverfahren)

Newtonverfahren:

 Nullstellen von  f(x) =  x⁴ - 8·x³ + 33·x + 10·x - 20 

 Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man - auch mit einem einfachen Taschenrechner -  immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

Du weißt allerdings i.A. nicht, ob du alle NS gefunden hast (hier gibt es nur 2 ) und manchmal konvergiert das Verfahren nicht (wenn du für x_alt zum Beispiel einen Extrempunkt erwischt).