sin(x-y) = sin(x)*cos(y) - cos(x)*sin(y) beweisen

Question

ich verstehe nicht, wie ich diese trigonometrischen Zusammenhänge beweisen kann. Könnte mir bei sin(x-y) = sin(x)*cos(y) - cos(x)*sin(y) jemand weiterhelfen? 

Answer 1

Ein - wie ich finde - schöner Beweis geht so mit
Analysis:

Betrachte für alle x und die Konstante k die Funktionbzw. Funktionenschar

f_k(x) =  sin(x)*cos( k - x)  +  cos(x)*sin(k - x ) dann ist f ' _k(x) =  cos(x) *cos(k-x)  + sin(x) * (-sin(k-x))*(-1)

                           + (-sin(x)) *sin(k-x)  + cos(x)*cos(k-x) *(-1)

                       = 0 .

Also ist f konstant und es ist

f(0) =  sin( k)  . Also giltfür alle  x     f_k(x) =  sin(k)  also        sin(x)*cos( k - x)  +  cos(x)*sin(k - x )  = sin (k)

und wenn man nun   k = x-y einsetzt ,  steht es da.