Durchschnittliche Geschwindigkeit bestimmen Integral

Question

Aufgabe:

Die Gleichung \( v(t)=v_{0} \cdot\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \) mit \( v_{ 0}>0, \tau>0, t \geq 0 \) beschreibt die Geschwindigkeit eines Körpers in Abhängigkeit von der Zeit. Bestimmen Sie die durchschnitliche (mittlere) Geschwindigkeit im Zeitintervall \( 0 \leq t \leq \tau ! \)

Hinweis: Der gesuchte Mittelwert der Geschwindigkeit v im Zeitintervall \( 0 \leq t \leq \tau \) ist der wie folgt berechnete lineare Mittelwert der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion:
\( \bar{v}_{\text {linear}}=\frac{1}{\tau} \int \limits_{0}^{\tau} v(t) d t \)

 

Wie muss ich vorgehen? Ich hab die Zeit und tau nicht gegeben. Ich muss die Stammfunktion bilden aber ... ich kann nicht beliebige Werte im Intervall aussuchen und dann einsetzten?

Hilfe bitte :(

Comments

Hallo sasha,

Zunächst eine Skizze ( Hinweis : die oberen 3 Zeilen gehören nicht zu
dieser Aufgabe )

mfg Georg
geht gleich weiter.

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Die blaue Kurve ist symbolisch die Funktion v ( t ) =
Geschwindigkeit.
Für die Fläche unterhalb der Funktion  ist zunächst die Stammfunktion
aufzustellen . Dann wird die Integralfunktion
zwischen 0 unt tau berechnet.
Siehe Formel im Fragetext.

Skizze
Diese Fläche muß der Fläche des Rechtecks entsprechen.
Rechteck : unten als Länge das Intervall.
Die mittlere Geschwindigkeit ist die Seite v (mittel)
Integral v ( t ) dt zwischen 0 und tau = v ( mittel ) * ( tau - 0 )
ergibt für
v mittel = ( Integral v ( t ) dt zwischen 0 und tau ) / tau
oder
v mittel = ( Integral v ( t ) dt zwischen 0 und tau ) *  1 / tau

t bleibt bei der Bildung der Stammfunktion zunächst ohne Wert
und wird bei der Integralfunktion durch 0 und tau ersetzt.

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg

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Ist doch schöne Antwort.

Mach doch bitte eine draus, dann ist es bei den offenen Fragen weg.

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Vielen Danke das hat mir sehr geholfen ! :)

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Aufleitung

v ( t ) = v0 * ( 1 - e^{-t/tau}
v ( t ) = v0 * 1 - v0 * e^{-t/tau}

Probeweises : eine e-Funktion kann nur aus einer e-Funktion kommen
[ e^{-t/tau} ] ´  = e^{-t/tau} * (-1/tau)
Jetzt müssen wir das (-1/tau) noch neutralisieren durch
[ -tau * e^{-t/tau} ] ´ = -tau * e^{-t/tau} * (-1/tau)= e^{-t/tau}

Stammfunktion
s ( t ) = v0 * t - v0 * ( -tau * e^{-t/tau} )
s ( t ) = v0 * t + v0 * ( tau * e^{-t/tau} )

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Aufleitung die zweite : etwas mathematischer ohne probieren

∫ e^-t/tau dt

z = - t / tau
z ´= - 1 /tau = dz / dt
dt = - tau dz

∫ e^z  (- tau dz  ) =  -tau ∫ e^z dz = -tau * e^z
Rückersetzen
∫ e^-t/tau dt = -tau *  e^-t/tau

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Ich bin sehr verwirrt. Vielleicht schaue ich mir nochmal die Aufleitungsregelen an.Danke trotzdem :D

Answer 1

In der Aufgabenstellung steht "Bestimmen Sie ..."

Damit ist gemeint "Geben Sie einen möglichst einfachen Term an"

> Ich hab die Zeit und tau nicht gegeben

Die Zeit t ist die Variable, nach der integriert werden soll, wie du das auch zum Beispiel von ∫_0..3 t³-t dt kennst.

Das τ ist eine Variable anderer Art. Da du deren Wert nicht kennst, darf sie auch in dem Term vorkommen, den du als Ergebnis bekommst. Stelle dir dazu vor, anstelle von τ würde eine ganz konkrete Zahl stehen (zum Beispiel 5). Führe die Rechnung mit dieser Zahl aus. Führe die gleiche Rechnung dann noch mal mit τ anstelle der ganz konkreten Zahl aus.

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Habe ich das richtig aufgeleitet?