Zeigen, dass die Summe der Quadrate der 4 Seiten = der Summe der Quadrate der Diagonalen ist, bei einem Parallelogramm.

Question

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Ich habe folgendes Problem bzw. folgende Aufgabe:

Nun wie soll ich das angehen quasi müsste ich ja eine Gleichung erstellen, wo auf der einen Seite die Summe der Diagonalen hoch und auf der anderen Seite die Summe der 4 Seiten hoch 2 ist. aber dann?
Was  bzw. soll ich umformen oder was soll am Ende rauskommen:

Generell gilt ja :
e^2 + f^2 = 2*(a^2+b^2)
gilt dann also auch???:

(e1,e2,e3)^2 + (f1,f2,f3)^2 = 2* ((a1,a2,a3)^2+(b1,b2,b3)^2)

Answer 1

Du beginnst damit, dass Du zuerst das Parallelogramm beschreibst. Und da hier Vektorrechnung gefordert ist, so nehme zwei beliebige Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\), die ein Parallelogramm aufspannen. Die Diagonalen \(\vec{e}\) und \(\vec{f}\) berechnen sich dann aus $$\vec{e}=\vec{a}+\vec{b}$$ und $$\vec{f}=\vec{b}-\vec{a}$$ Die Summe der vier Quadrate über den Seiten ist $$A_S=2(\vec{a}^2+{\vec{b}}^2)$$ und die Summe der beiden Quadrate über den beiden Diagonalen ist $$A_D=(\vec{a}+\vec{b})^2+(\vec{b}-\vec{a})^2=\vec{a}^2+2\vec{a}\vec{b}+{\vec{b}}^2+\vec{a}^2-2\vec{a}\vec{b}+{\vec{b}}^2\\ =2\vec{a}^2+2\vec{b}^2=2(\vec{a}^2+{\vec{b}}^2)$$ q.e.d.

Gruß Werner

Comments

Danke für deine Lösung.
Also hätte ich die Vektoren gar nicht in x,y,z schreiben müssen?

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Nein - \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) reichen (s.o.). Gilt dann auch N-Dimensional mit N>=2.

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Ok gut ich danke dir.
Die Binomische Formel einzusetzen darauf wäe ich z.B. nicht gekommen, aber gut zu wissen.
Danke nochmal.