Komplexe zahlen - Was bedeutet diese Darstellung: z= re^{iφ}?

Question

Ich soll hier z²=-9 unter Zuhilfenahme dieser Darstellung vestimmen, verstehe aber nicht, was das überhaupt bedeuten soll. die lösung ist ja -3i, hab auch nochmal des screenshot von unseren lösungen eingefügt, das ist aufgabe a.

ich hatte schon im internet gesucht, aber dazu echt keine lösung gefunden, muss das ja verstehen

Answer 1

z = r*e iφ  =  r* ( cos(φ) + i * sin (φ ) )  

also sozusagen die Zerlegung in  ein Produkt aus dem Betrag und einem

Einheitsvektor in der Zahlenebene.

Wäre bei dir

z²=-9       also   z² =  9 * ( cos(180° ) + i * sin ( 180° ) )und beim

Wurzelziehen muss man die Wurzel aus dem Betrag nehmen undden Winkel φ halbieren . 

Dann wäre eine Lösung


z = 3 * ( cos(90°) + i * sin (90°) )  = 3* (     0       + i * 1  )


=  3i


und die andere Lösung  z =  - 3i .

Comments

woher hast du die 180 grad?

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soll ich also beim rechnen die dormel von dir nehmen oder die mit dem i und dem winkel im exponenten?

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Die 180° sind der Winkel der Zahl mit der pos. x-Achse.

Also bei neg. Zahlen  180°