Zeigen sie, dass U1 ∩ ... ∩ Un ein Untervektorraum von V ist

Question

Sei K ein Körper und sei V ein K Vektorraum. Sei n ∈ ℕ. Zeigen Sie:

 

1.) Sind U₁,.....,U_n Untervektorräume von V, so ist auch U₁ ∩ ...∩ U_n ein Untervektorraum

von V

2.) Sind U₁,.....,U_n Untervektorräume von V, so ist auch U₁+U₂+.....U_n = { x∈V ∣x= x₁+⋯+x_n mit x_i∈U_i ( i=1,...,n)}  ein Untervektorraum von V

3.)  Sind U1 und U2 Untervektorräume von V , so ist U1∪U2 genau dann ein Untervektorraum von V ,

      wenn U1⊆U2 oder U2⊆U1 gilt.

;:Kann mir jemand helfen, die drei aussagen zu beweisen ? ich komm nicht darauf wie ich es zeigen soll.. ?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Seien U1 , U2 Unterräume eines Vektorraums V .

Stichworte: vektorraum,untervektorraum,algebra

Seien U1 , U2 Unterräume eines Vektorraums V . Zeigen Sie, dass U1 + U2 = {u1 + u2 : ui ∈ Ui für i = 1, 2} und U1 ∩ U2 Unterräume von V sind.

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b) ist ein Spezialfall von https://www.mathelounge.de/404429/zeigen-sie-dass-u1-un-ein-untervektorraum-von-v-ist

a) ist auch schon mehrfach bei den "ähnlichen ragen" vorhanden.

Answer 1

Die definierenden Eigenschaften eines Untervektorraums für alle drei Konstrukte nachweisen:

\(1)\ U_1\cap U_2\cap...\cap U_n=:W.\)
\(W\subseteq V\colon\ W\subseteq U_1 \subseteq V.\). Ein Schnitt ist Teilmenge jeder einzelnen Menge, über die geschnitten wird, deshalb ist \(W\) Teilmenge von, z.B., \(U_1\) und deshalb auch von \(V\).
\(a)\) Die erste Bedingung ist entweder \(0\in W\) oder \(W\neq \emptyset\), ich werde hier Ersteres zeigen, weil daraus offensichtlich Zweiteres folgt. Genauer sind die Bedingungen äquivalent, wenn man auch noch Bedingung \(c)\) fordert. Jedenfalls:
$$\forall i \in \{1,...,n\}\colon 0\in U_i\Rightarrow 0\in \bigcap_{i=1}^nU_i=W.$$\(b)\ \forall a,b \in W\colon\ a+b\in W\colon\)
$$a,b \in W \Rightarrow a,b\in U_1, ..., U_n \Rightarrow a+b \in U_1,...,U_n \Rightarrow a+b \in W.$$ Der erste Folgepfeil gilt, weil Elemente eines Schnittes in jeder Menge liegen, über die geschnitten wird (definitionsgemäß). Dann sind alle Mengen, über die geschnitten wird, Untervektorräume, deshalb ist auch die Summe wieder in jedem dieser Räume. Und wenn die Summe in jeder der Mengen ist, ist sie auch wieder in der Schnittmenge (wieder definitionsgemäß).

\(c)\ \forall a \in W, \lambda \in K\colon \lambda\cdot a\in W.\)
$$a \in W \Rightarrow a\in U_1, ..., U_n \Rightarrow \lambda a \in U_1,...,U_n \Rightarrow \lambda a \in W.$$ Ablauf und Begründung sind ähnlich wie in \(b)\).

\(2)\) Ähnlicher Ablauf wie in \(1)\), man zeigt die Eigenschaften von \(W:=U_1+...+U_n\), indem man die Elemente von \(W\) abhängig von \(U_1, ..., U_n\) schreibt (z.B. \(0=0+0+...+0\), \(n\)-mal, und die Null ist in jedem \(U_i, i=1,...,n\) enthalten, also ist \(0\in W\)). Dann brauchst du eigentlich nur noch, dass die Addition kommutativ ist (Argumente vertauschbar sind) und dass die Multiplikation mit einem Skalar distributiv ist (dass man einen Faktor vor einer Summe stattdessen vor jeden Summanden schreiben kann). Das folgt schon daraus, dass wir in einem \(K\)-Vektorraum sind und \(K\) ein Körper ist.

\(3)\) Hier werde ich zeigen, dass aus \(U_1\subseteq U_2\) folgt, dass \(U_1\cup U_2\leq V\) und aus \(U_1\not\subseteq U_2\not\subseteq U_1\) folgt, dass \(U_1\cup U_2\not\leq V.\) Dann sind die Aussagen schon äquivalent.

\(3.1)\ U_1\subseteq U_2\colon\)

\(U_1\subseteq U_2\Rightarrow U_1\cup U_2=U_2\leq V\) nach Voraussetzung. Weil \(U_1,U_2\) beliebig waren, muss man \(U_2\subseteq U_1\) gar nicht mehr zeigen.

\(3.2)\ U_1\not\subseteq U_2\not\subseteq U_1\colon\)

\(U_1\not\subseteq U_2 \Rightarrow \exists a\in U_1\colon a\not\in U_2.\)
\(U_2\not\subseteq U_1 \Rightarrow \exists b\in U_2\colon b\not\in U_1.\)

Dann gilt: \(a+b \not\in U_1\cup U_2\). Denn wäre \(a+b \in U_1\cup U_2\), dann würde, nach Definition der Vereinigung, gelten: \(a+b \in U_1\vee a+b\in U_2.\)
Aus \(a+b \in U_1\) und der Tatsache, dass \(U_1\) ein Untervektorraum, also ein Vektorraum ist, folgt aber:
\(a+b+(-a)\in U_1\) (Summeneigenschaft des Vektorraums und weil \(a \in U_1\), muss auch \(-1\cdot a \in U_1\)  gelten).
\(a+b+(-a)=a-a+b=b\in U_1\) ist aber im Widerspruch zur Wahl von \(b\), die vorschreibt, dass \(b\not\in U_1\).
Es ist also nicht möglich, dass \(a+b\in U_1\) gilt.
Dasselbe nochmal mit \(a+b+(-b)\in U_2\) wiederholen und du merkst, dass \(a+b\) weder in \(U_1\) noch in \(U_2\) liegen kann. Deshalb kann es auch nicht in der Vereinigung liegen.

Damit erfüllt \(U_1\cup U_2\) die Summeneigenschaft von Vektorräumen nicht und kann deshalb kein Untervektorraum von \(V\) sein.

Comments

Danke für ihre ausfürliche und verständliche Antwort.

Jedoch hätte paar Fragen:

Zu 2.) muss ich nicht mehr zeigen, dass a,b ∈W : a+b ∈ W gilt und λa ∈W ?

weil wie sie schon gesagt haben, dass die addition kommutativ ist und die multiplikation

distributiv ist folgt ja schon aus den Körperaxiome.. ?

Zu 3.) wenn U₁ ⊆ U2 dann ist doch U₁ ∪ U₂ = U₁ und nicht U₂ oder ?

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Brauchst mich nicht zu siezen, ein "du" reicht.

Ja, bei 2.) muss man diese beiden Aussagen noch zeigen, aber die Vorgehensweise ist ähnlich wie bei 1.). Die Kommutativität der Addition war als hinweis gedacht, wie du dabei vorgehen sollst. Du musst einfach die Elemente von \(W\) als Summe von Elementen in \(U_1,..., U_n\) schreiben, z.B. als \(a=a_1+...+ a_n, b=b_1+ ...+ b_n\). Dann stehen in deiner Bedingung statt \(a+b\) lauter Summanden, die du so umordnen musst, dass alle Summanden mit demselben Index beieinander stehen (\(a_1 + b_1 + ...+ b_{i-1} + a_i + b_i + a_{i+1} +... + a_n + b_n\)). Dann sind alle \(a_i+b_i\) wieder in \(U_i\) (Summeneigenschaft), und deshalb hast du eine Summe der Form \(c_1+c_2+...+c_n,\ c_i \in U_i\) für \(i \in \{1,...,n\}\), die wieder in \(W\) liegt.

Ich denke, mit diesem Ansatz und dem Hinweis, dass du das Distributivgesetz ausnutzen sollst, schaffst du die 2.b) auch alleine.

Zu 3.), ich glaube, du verwechselst Schnitt und Vereinigung. Was da steht, ist die Vereinigung von \(U_1\) und \(U_2\). Das sind alle Elemente, die in einem der beiden Mengen liegen. Und weil alle Elemente von \(U_1\) auch schon in \(U_2\) liegen, kommt bei der Vereinigung wieder \(U_2\) heraus. Die Vereinigung von zwei Mengen ist ja die Menge, in die du alle Elemente der ersten Menge schreibst, und dann alle Elemente der zweiten Menge, und eventuelle Duplikate streichst du wieder, sodass kein Element doppelt da steht.
Oder hast du die Teilmengenrelation missverstanden? \(U_1\subseteq U_2\) bedeutet, \(U_1\) ist Teilmenge von \(U_2\), also ist \(U_1\) die kleinere der beiden Mengen und \(U_2\) die größere, in \(U_2\) liegen möglicherweise auch noch weitere Elemente als die, die in \(U_1\) sind.

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Achsoo, Ja das macht Sinn. Danke für den Hinweis :)

Oh hab tatsächlich vereinigung mit durchschnitt verwechselt. Danke für deine Erklärung,

ausfürliche Anwort und Zeit.