Strecke mit der Integralrechnung berechnen, wie?

Question

 

kann mir jemand bei Aufg. c) und d) helfen? Wir sollen diese Aufgabe mit der Integralrechnung lösen (neues Thema) aber klappt einfach nicht... bei c) sollen wir die Strecke beim freien Fall berechnen also h(t)=0.5*g*t² wobei g=9.81... habe echt keine ahnung. C) h(t) aufleiten und dann das integral von 0-2.5 bilden? Da kommt was falsches heraus.

Answer 1

Diagramm 2 zeigt die Geschwindigkeit abhängig von der Zeit. Bei $t_0=55s$ klinkt die Gondel aus und von da an wirkt die Erdanziehungskraft ungehindert auf die Gondel (genauer bis auf Reibung mit der Schiene, die man hier vernachlässigt). Du weißt, dass die Erdbeschleunigung $g\approx9.81\frac m{s^2}$ beträgt. Bei konstanter Beschleunigung kann man die Formel $h(t)=\frac12a(t-t_0)^2$ mit $a$ der Beschleunigung verwenden, die in der Zeitspanne von $t_0$ bis $t$ wirkt. Also in unserem Fall einfach $h(t)=\frac12\cdot9.81\frac m{s^2}\cdot(57.5s-55s)^2=30.66m.$

Andererseits kann man die Gleichung allgemein, für nicht-konstantes $a$, berechnen, indem man $\int_{t_0}^ta(x)\text dx=v(t)-v(t_0)$ (die Geschwindigkeit) berechnet und dann $\int_{t_0}^tv(x)\text dx=h(t)-h(t_0).$

$h(t)-h(t_0)$? Das ist genau das, was wir brauchen, der Abstand, der zwischen $t_0=55s$ und $t=57.5s$ zurückgelegt wird.

Also: $h(t)-h(t_0)=\int_{t_0}^tv(x)\text dx=\int_{t_0}^t\int_{t_0}^xa(y)\text dy+v(t_0)\text dx=\\=\int_{t_0}^t\int_{t_0}^xa(y)\text dy\text dx +v(t_0)\cdot(t-t_0).$

Etwas Erklärung hierzu: Erst habe ich in der ersten Gleichung oben $v(t)$ freigestellt und in die zweite Gleichung eingesetzt (da steht ja $v(x)$, also muss die obere Grenze des zweiten Integrals $x$ sein und nicht $t$).

Warum auf einmal $\int a(y)\text dy$ statt $x$? Das ist nur, weil ich $x$ schon im ersten Integral gebraucht habe. Die Variablen, die im Integral stehen, sind beliebig, so wie beim großen Summenoperator oder dem Produkt: $$\sum_{n=1}^8 \frac1n=\sum_{i=1}^8\frac1i,\quad\quad \int a(x)\text dx=\int a(y)\text dy.$$

Man muss nur aufpassen, dass man bei mehreren Integralen oder Summen nicht denselben Buchstaben mehrmals verwendet, denn dann kommen falsche Ergebnisse raus, wenn man einen Index mit dem anderen verwechselt.

Im letzten Schritt habe ich dann den hinteren Summanden $v(t_0)$ bereits integriert und die Grenzen eingesetzt. Da er nicht von $x$ abhängt, ist die Funktion konstant, und konstante Funktionen haben als Integral von $a$ bis $b$ die Rechtecksformel $\int_a^b c\ \text dx=c\cdot(b-a).$ Gilt wie gesagt nur für $c\in \mathbb R$ fest.

Und weil $v(t_0)=0$ ist, fällt der ganze zweite Summand weg.

Also, was ist der erste Summand oben? $$\int_{t_0}^t\int_{t_0}^xa(y)\text dy\text dx=\int_{t_0}^t\int_{t_0}^xg\ \text dy\text dx=\int_{t_0}^tg\cdot(x-t_0)\text dx=\int_{t_0}^tg\cdot x -g\cdot t_0\text dx=\\=\left.\frac12 g\cdot x^2\right|_{x=t_0}^t -g\cdot t_0\cdot (t-t_0)=\frac12g\cdot t^2-\frac12g\cdot t_0^2-g\cdot t_0\cdot (t-t_0)=\\=\frac12g\cdot t^2-\frac12g\cdot t_0^2-g\cdot t_0\cdot t+ g\cdot t_0=\frac12g(t^2-2t\ t_0+t_0^2)=\frac12g(t-t_0)^2.$$

Gut. $c)$ wäre geschafft.

Für $d)$, die Gleichung, die du suchst, ist eine Parabel, von der du den Scheitelpunkt und noch einen weiteren kennst ($S=(57.5,-25), P=(59,0)$). Solltest du in der Vergangenheit bereits gemacht haben. Ansonsten findest du die Formel im Internet.

Dann musst du für die Geschwindigkeit einfach $t$ in die Funktion $p$ einsetzen. Für die zurückgelegte Strecke schließlich musst du oben, in der Gleichung $\int_{t_0}^tv(x)\text dx=h(t)-h(t_0)$ die Funktion $v$ durch $p$ ersetzen und das Integral lösen. Allerdings nicht mit den Grenzen $t_0$ und $t$, sondern mit den Grenzen $t-0.1$ und $t$. Für $t=57.8$ zum Beispiel ($0.3s$ nach Start) geht das Integral von $57.7$ bis $57.8$. Dafür musst du die Stammfunktion nur einmal berechnen und dann einsetzen. Außerdem kommt jeder Wert einmal in der unteren und einmal in der oberen Grenze vor, also kannst du dir da auch noch Rechenaufwand sparen.

Für die insgesamt zurückgelegte Strecke, summiere über alle Teilstrecken vom Anfang bis zu der, die du grade ausgerechnet hast. Also für $t=58.3s$ kannst du entweder $P(58.3)-P(57.5)$ (dem Anfang) ausrechnen, mit $P$ der Stammfunktion von $p$, oder alle Streckenabschnitte zusammenzählen, die du für $57.6, 57.7, ..., 58.2, 58.3$ ausgerechnet hast.

Die Höhe über dem Boden bei $t$ ist dann der Wert $P(t)-P(59)$, weil zum Zeitpunkt $59s$ die Gondel am Boden ankommt. Die Formel dazu ist einfach "Höhe über dem Boden = ausgerechnete Höhe - Höhe des Bodens".

Hoffe ich konnte dir helfen!

Comments

Vielen lieben Dank! c) habe ich erledigt aber d) noch nicht.  Die Stammfunktion ist P(t)=24/54*(2t-115)³+25t+c (hoffe ich zumindest). Ich verstehe aber nicht ganz, warum bis 58.3s und nicht 59?

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$t=58.3s$ ist nur eines der Teilstücke, die du ausrechnen musst. Du musst schon alle bis $59s$ berechnen. Ich hab mir nur eins rausgepickt, um an einem konkreten Beispiel zu erklären, was zu machen ist.

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Die Stammfunktion ist beinahe richtig, hast du dich vielleicht vertippt?

$P(t)=25/54*(2t-115)^3+25t+c.$