Extremwertaufgabe Regentonne

Question

ich habe folgende Aufgabe, habe aber Probleme bit der Zielfunktion:

1) Eine Firma stellt oben offene Regentonne für Hobbygärtner her. Diese sollen bei gegebenem Materialbedarf maximales Volumen besitzen.
a) Wie sind die Abmessungen zu wählen , wenn 2 m² Material je Regentonne zur Verfügung stehen?

Answer 1

Die Hauptbedingung beschreibt die zu optimierende Größe; das ist in diesem Fall das Volumen V der Tonne. Bei einer zylindrischen Form und einer Höhe von h und einem Radius von r ist das Volumen $$V=h\pi r^2$$ Die Nebenbedingung folgt hier aus der Tatsache, dass nur 2qm an Matrial für den Mantel \(2h\pi r\) und den Boden \(\pi r^2\) verbraucht werden darf $$2h\pi r +\pi r^2 - 2\text{m}^2=0 $$ Die Lagrange-Funktion ist also $$L(r,h,\lambda)=h\pi r^2 + \lambda(2h\pi r +\pi r^2 - 2\text{m}^2)$$ Ableiten nach r und h und Nullsetzen $$\frac{\delta L}{\delta r}=2h\pi r + 2\lambda h\pi + 2\lambda\pi r=0$$ $$\frac{\delta L}{\delta h}=\pi r^2 + 2\lambda \pi r=0$$ aus der letzten Gleichung folgt, dass \( \lambda=\frac{-r}{2} \). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \( 2h\pi r - h\pi r - \pi r^2 = 0 \) bzw.: \(h=r\). Einsetzen in die Nebenbedingung ergibt $$2\pi r^2+\pi r^2 - 2\text{m}^2=0$$ $$r=\sqrt{ \frac{2}{3 \pi}}\text{m} \approx 0,461\text{m}$$

Gruß Werner

Answer 2

> maximales Volumen

Hauptbedingung ist deshalb:

          Volumen(wasauchimmer, wasauchnoch) = TermFürVolumen

Was sagt deine Hauptbedingung aus und warum hast du sie so gewählt?

> 2 m² Material je Regentonne

Nebenedingung ist also

        FlächeVonKörper(wasauchimmer, wasauchnoch) = TermFürFläche

Dabei hast du "FlächeVonKörper(wasauchimmer, wasauchnoch)" gegeben, nämlich 2. Einsetzen:

        2 = TermFürFläche

Was du als TermFürFläche verwenden kannst, kommt auf die Form des Objektes an. Anhand von "offene Regentonne" vermute ich Mantel plus Boden eines Zylinders. Ersetze TermFürFläche durch den entsprechenden Term, löse nach wasauchimmer auf und setze in die  Hauptbedingung ein.

Answer 3

Nebenbedingung

A = pi·r^2 + 2·pi·r·h

h = a/(2·pi·r) - r/2

Hauptbedingung

V = pi·r^2·h

V = pi·r^2·(A/(2·pi·r) - r/2)

V = A/2·r - pi/2·r^3

V' = A/2 - 3/2·pi·r^2 = 0

r = √(A/(3·pi))

h = A/(2·pi·√(A/(3·pi))) - √(A/(3·pi))/2 

h = √(A/(3·pi))

Damit sind Radius und Höhe gleich groß.