Wenn die Teilfolgen (a_2n) und a_2n+1) konvergieren, so konvergiert auch (a_n)?

Question

hab mal eine Frage zu ner Übungsauagbe:

Es geht um Folgen, dort sollen wir folgende Aussagen entweder beweisen oder belegen: Hab leider das noch nicht ganz verstanden.

a.

Für jede Folge (a_n)_nEn gilt: Wenn die Teilfolgen (a_2n) und a_2n+1) konvergieren, so konvergiert auch (a_n).

und

b.

Für alle x,y,z mit x<y<z gibt es eine Folge (a_n) mit inf {a_n} = x, sup {a_n} = z und lim_n-->∞ a_n=y

Kann mir da jemand helfen ?

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Comments

(a)  Wähle a_n = (-1)ⁿ.

Answer 1

Für jede Folge (a_n)_nEn gilt: Wenn die Teilfolgen (a_2n) und a_2n+1) konvergieren, so konvergiert auch (a_n).

nur wenn beide Teilfolgen gegen den gleichen GW konvergieren.

Für alle x,y,z mit x<y<z gibt es eine Folge (a_n) mit inf {a_n} = x, sup {a_n} = z und lim_n-->∞ a_n=yKlar, nimm einfach die Folge

x    z    y   y    y    y    y    y  ......  ( also nachher konstant gleich y)

Dann ist sogar min=x und max = z    und  GW=y