Differenzierbarkeit durch f(x)=f(x0)-a(x-x0)+r(x) Zeigen.

Question

Ich habe jetzt mehrere Skripte zu dem Thema gelesen, verstehe diese Aussage nicht:

Satz 4.10.21.

Eine Funktion \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) ist in \( x_{0} \in I \) genau dann differenzierbar mit \( f^{\prime}\left(x_{0}\right)=a \), wenn

\( f(x)=f\left(x_{0}\right)+a\left(x-x_{0}\right)+r(x), \quad x \in I, \)

ist und für die Funktion \( r: I \rightarrow \mathbb{R} \) gilt

\( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{|r(x)|}{\left|x-x_{0}\right|}=0 \)

Also a ist wohl aus R beliebig. Aber wie ist r(x) definiert?

Und was soll die Aussage bedeuten?

Kann mir das jemand eventuell jemand an f(x) = x² und g(x) = 2x³ erklären?

Answer 1

(1)  Sei zunächst vorausgesetzt, dass f in x₀ differenzierbar ist.

Definiere \( a \) durch \( a:=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \) und die Funktion \( r \) durch \( r(x):=f(x)-f\left(x_{0}\right)-a \cdot\left(x-x_{0}\right) . \) Es folgt \( \frac{r(x)}{x-x_{0}}=\frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}-a \).
Da \( f \) differenzierbar ist, existiert der Grenzwert \( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)=a \)
und es ist \( f(x)=f\left(x_{0}\right)+a \cdot\left(x-x_{0}\right)+r(x) \) mit \( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{r(x)}{x-x_{0}}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)-a=0 \).

Dann ist \( 0=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{r(x)}{x-x_{0}}=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}\left(\frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}-a\right) \), also \( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=a \).

D.h. \( f \) ist in \( x_{0} \) dif ferenzierbar und es gilt \( f^{\prime}\left(x_{0}\right)=a \).

(2)  Sei nun umgekehrt vorausgesetzt, dass für f die obige Darstellung besteht.

Comments

Ich verstehe einfach nicht was r(x) soll.

Wenn ich das für x² und x₀ = 3 durchspiele, bekomme ich f(x)=f(x) heraus.
Das mag zwar korrekt sein, aber hilft doch nicht wirklich weiter.

Und es wird ja der Differenzenquotient genutzt: In wie weit ist also dieser Satz dann aussagekräftiger?

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g(x) = a(x-xo) ist wohl die Tangente von an f(x) durch P(xo|f(xo)). r(x) der Rest zwischen Kurve und Tangente. Der sollte dann (laienhaft ausgedrückt) bezogen auf die Tangente 'keine Steigung mehr haben in der Nähe von xo.'

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Ah danke!! Bin eben auch auf den Mittelwertsatz gestoßen. Zusammen mit Lu s aussage ist mit klar geworden wir r(x) entsteht.