Skizziere f(x)=x und g(x) = e^{-x} , Zeige: Es gibt genau ein x mit x = e^{-x} .

Question

hey könnt ihr mir vill helfen?

Man skizziere f(x) = x und g(x) = e^−x z.B. für x ∈ (−1,2) und zeige, dass es genau ein x ∈R gibt mit x = e^−x.

Answer 1

Hier ist eine Skizze

~plot~ x; e^{-x} ~plot~

Nun kannst du dir den Beweis überlegen. 

Answer 2

betrachte h(x):=x-e^{-x}=0.

h'(x)=1+e^{x}>0

Zusätzlich ist h(-1)=-1-e<0 und h(1)=1-e^{-1}>0. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein x₀ mit -1<x₀<1, h(x₀)=0 .

Und da die Funktion zusätzlich monoton wachsend ist, gibt es keine weitere Nullstelle mehr.