Man skizziere beide Fälle, sowie die Umkehrfunktion

Question

ich hab eine Aufgabe die ich nicht verstehe und auch nicht weiß, wie man sowas skizzieren kann...

Man zeige: ℝ∋ x → a^x := exp_a(x) := e^xlna ist für a > 1 streng monoton wachsend und für 0 < a < 1 streng monoton fallend, in beiden Fällen bijektiv von ℝ nach ℝ⁺. Man skizziere beide Fälle, sowie die Umkehrfunktion log_a :ℝ⁺ →ℝ, und zeige, dass log_a(x) = lnx / lna .

Comments

Man skizziere beide Fälle

Du hast ja 2 Variable : a und x

Alle Funktionen kannst du nicht skizzieren.
Ein a = 1.5
und
a = 0.5
habe ich dir einmal beispielhaft skizziert.

Sonst sind noch jede Menge Eigenschaften nachzuweisen.

Answer 1

f(x) =  a^x := exp_a(x) := e^xlna ist für a > 1 streng monoton wachsend

f ' (x) = ln(a) *  e^xlna ist für a > 1 immer positiv, also f streng mon. wachsend.also Injektiv und wegen lim für x gegen - unendlich = 0 und

lim für x gegen + unendlich = + unendlich  und der Stetigkeit surjektiv mit

Wertemenge IR⁺  .

    y =  e^xlna    
ln(y) = x * ln(a)  

ln(y) / ln(a) = x   Also Umkehrung     y =  ln(x) / ln(a)