A2017 von matrix A bestimmen

Question

Hallo

Wenn man eine beliebige Matrix A gegeben hat und eine höhere Potenz dieser Matrix bestimmen will (ich habe hier mal 2017 genommen :)) . Wie geht man dann vor?

Wenn die Matrix A diagonalisierbar wäre soll es da eine Beziehung der Form A=T^-1*D*T geben, so dass sich T^-1*A²⁰¹⁷*T ergeben soll.

Stimmt diese Beziehung? Wenn ja wird unterstellt, dass A eine Diagonalmatrix ist oder?

Vielleicht kann mir jemand da weiterhelfen  und das näher erläutern.

Answer 1

Potenzen von Diagonalmatrizen berechnen sich über Potenzen der einzelnen Diagonalelemente.

Potenzen anderer berechnest Du am effektivsten über binäre Darstellung, d.h. 2er-Potenzen

$2017 = 1+32+64+128+256+512+1024$

$A^{2017} = A^{1}\cdot A^{32}\cdot A^{64}\cdot A^{128}\cdot A^{256}\cdot A^{512}\cdot A^{1024}$

Du startest mit

$A = A$, $B = A = A^1$

$\circledast$ Wenn Du $B$ brauchst (hier ja), dann gilt $A = A\cdot B$

Dann immer $B = B\cdot B$ und weiter mit $\circledast$.

$B$ wird dadurch immer wieder quadriert, wobei Du wegen Effizienz nicht $B^2$, sondern $B\cdot B$ rechnest. Du baust damit eine Reihe auf: $B^1 \to B^2 \to B^4 \to B^8 \to \dots$.

Immwer wenn Du eine davon brauchst (das sagt Dir die Binärdarstellung von $2017$ wird sie multipliziert.

Grüße,

M.B.

Comments

Danke.

Das was ich oben geschrieben habe sagt dir also nichts? Unser Tutor hat das mal ganz kurz angesprochen, ich weiß aber nicht mehr genau wie das funktioniert hat. 

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https://www.mathelounge.de/407720/orthogonale-matrix-und-diagonalmat…

Könnest du Bitte hier auch nochmal kurz drüber schauen. Ich habe da noch eine kurze Frage gestellt. Wäre nett wenn du dir das bei Gelegenheit nochmal anschauen würdest.

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Folgendes ohne Gewähr:

Wenn $A$ diagonalisierbar, dann kannst Du $A = S^{-1}DS$ finden, mit $S$ Matrix aus Eigenvektoren, $D$ Diagonalmatrix aus Eigenwerten.

Für $A^{2017}$ gilt dann:

$$A^{2017} = \left( S^{-1}DS \right)^{2017} = (S^{-1}DS)\cdot(S^{-1}DS)\cdot(S^{-1}DS)\cdots$$

Wegen assoziativ können alle Klammern entfallen und wegen $S\cdot S^{-1} = E$ gilt dann

$$\cdots = S^{-1}DDDDD\cdots DDS = S^{-1} D^{2017} S$$

Grüße,

M.B.

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Hallo nochmal

Ich habe gerade zur Übung mal ein paar Potenzen von einer Matrix ausgerechnet. 

Ich bin zu dem Ergebnis gekommen, dass man Aⁿ =T*Dⁿ*T^-1 rechnen muss um das korrekte Ergebnis von Aⁿ zu erhalten. Und nicht Aⁿ=T^-1*Dⁿ*T. 

Kann es sein, dass du das oben falsch notiert hast oder? 

LG

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Du hast recht, es ist $D = S^{-1}AS \iff SDS^{-1} = A$.

Grüße,

M.B.

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Wie kommt man denn auf diese Äquivalenz? Also welche Schritte machst du, um von der rechten Seite mit D=.... auf A=... zu kommen?

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$$D = S^{-1}AS$$

$$SDS^{-1} = SS^{-1}ASS^{-1}$$

$$SDS^{-1} = A$$

Grüße,

M.B.