Vektorraum. Abbildung f: V -> M_(14)(R) mit f(ao + a1T + a2T^2) = (ao, -a1, a2, ao + a1+a2). Kern? Basis?

Question

bitte um Hilfe bei der Lösung dieser Aufgabe:

Answer 1

p =  a₀ + a₁T + a₂T²  aus Kern(f)  <=>     ( ao , -a1  , a2  ,  ao + a1 + a2 ) = 0-Vektor

<=>    ao=0    ∧  -a1=0    ∧   a2=0    ∧    ao + a1 + a2 = 0 

<=>    ao=a1=a2=0

<=<  p = 0-Polynom

Also Kern(f) = {0}

=>  Bild(f) ist dreidimensional , also bilden drei Erzeugende eine Basis

Wenn   x =   (x1;x2;x3;x4) aus Bild(f) , dann gibt es (a1,a2,a3,a4) aus V mit

f (a1,a2,a3,a4) = (x1;x2;x3;x4) 

<=>    ( ao , -a1  , a2  ,  ao + a1 + a2 )  =   (x1;x2;x3;x4) 

<=>     ao=x1    ∧  -a1=x2    ∧   a2=x3     ∧    ao + a1 + a2 = x4

<=>     ao=x1    ∧  -a1=x2    ∧   a2=x3     ∧    x1  -x2  + x3  = x4

<=>   x =  ( x1    ,  x2    ,  x3    ,  x1  -x2  + x3 )  


<=>   x = x1*( 1 , 0 ,0 , 1 )   +    x2 * ( 0,1 ,0 , -1 )   +  x3 * (  0 , 0 ,  1  ,  1  )  

Und da sieht man drei mögliche Basisvektoren.

Answer 2

Danke ich konnte alle Schritte nachvollziehen bis auf den letzten, wie erhalte ich die drei möglichen Basisvektoren?