Die Wendepunkte der Funktion y= 0,5x^5 -x^3 +x berechnen

Question

Ich habe die Funktion y = 0,5 x^5 -x^3 +x , wie bekomme ich nun die Wendepunkte raus ?

Comments

Du müsstest dich schon einigen, welche Funktion du meinst, die aus der Überschriift (die hat keinen Wendepunkt, da es sich um eine Parabel handelt) oder die aus dem Fragetext?

Notwendige Bedingung für eine Wendestelle:

f ' ' ( x ) = 0

Mit dieser Gleichung ermittelst du die Kandidaten x_i , die als Wendestellen in Frage kommen.

Hinreichende Bedingung für eine Wendestelle an der Stelle x_i :

f ' ' ' ( x_i ) <> 0

Mit dieser Ungleichung prüfst du, ob an der Stelle x_i tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt.

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Aha, inzwischen hast du dich offenbar geeinigt (Überschrift angepasst) ... :-)

Answer 1

Hi,

für die Wendepunkte bilde erstmal die zweite Ableitung, denn die muss ja 0 sein.

 

f'(x)=2,5x^4-3x^2+1

f''(x)=10x^3-6x

-> f''(x)=10x^3-6x=0=x(10x^2-6)

x₁=0 und 10x^2-6=0

10x^2-6=0

10x^2=6

x^2=6/10=3/5

x_2,3=±√3/5=0,7746

 

Das müsste man noch mit f'''(x)≠0 überprüfen. Ist das der Fall haben wir Wendepunkte. Um deren y-Werte zu bestimmen einfach in f(x) einsetzen. Es sollte dann so aussehen:

 

W₁(0|0), W₂(-0,7746|-0,4492) und W₃(0,7745|0,4492)

 

Grüße

Answer 2

Also:

 

f ' ' ( x ) = 10 x ³ - 6 x = 0

<=> x * ( 10 x ² - 6 ) = 0

<=>  x = 0 ODER 10 x ² = 6

<=> x = 0 ODER x = +/- Wurzel ( 3 / 5 )

Es gibt also drei Kandidaten für eine Wendestelle:

x1 = - Wurzel ( 3 / 5 )

x2 = 0

x3 = Wurzel ( 3 / 5)

Alle drei werden nun mit der hinreichenden Bedingung (siehe Kommentar) geprüft:

f ' ' ' ( x ) = 30 x ² - 6

Setzt man hier nun nacheinander x1, x2 und x3 ein, erhält man:

f ' ' ' ( x1 ) = 30 * ( 3 / 5 ) - 6 = 18 > 0 => Wendestelle

f ' ' ' ( x2 ) = 30 * 0 - 6 < 0 => Wendestelle

f ' ' ' ( x3 ) = 30 * ( 3 / 5 ) - 6 = 18 > 0 => Wendestelle.

Also hat die Funktion f Wendestellen an den Stellen x1 = - Wurzel ( 3 / 5 ), x2 = 0 und x3 = Wurzel ( 3 / 5 )

Die Funktionswerte von f ( x ) an den Stellen xi erhältst du einfach durch Einsetzen.

 

Hier kannst du dir den Graphen der Funktion anschauen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.5x%5E5-x%5E3%2Bx+from-1.2to1.2

Comments

Wenn du doch aber x1 und x3 in die dritte Ableitung einsetzt,dann muss ich doch auch -wurzel 3/5 hoch 2 einsetzen und dann kommt doch nicht 18 heraus ?

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Stimmt, es kommt jeweils 12 heraus. Da habe ich wohl vergessen, jeweils die 6 zu subtrahieren.
Dennoch: Da auch 12 ungleich Null ist, liegt in beiden Fällen eine Wendestelle vor, wie man ja auch am Graphen sieht.