Partialbruchzerlegung im Zähler ist keine Variable vorhanden

Question

ich habe Gebrochenrationale-Funktion, die ich integrieren möchte. Das Problem ist leider nur, dass im Zähler keine Variable vorhanden ist.

$$ \int { \frac { 5 }{ (1+{ x }^{ 2 })(1+x) }  } dx $$

Wäre da jetzt eine Variable im Zähler, wäre das kein Problem die PBZ durchzuführen. Aus Interesse heraus würde mich aber interessieren, wie man das lösen kann.

PS:

Bitte keine Links zu WA oder irgendwelchen online Rechnern, ich möchte das ja verstehen ;-)

Gibt es da eine allgemeine Form bei einem Bruch dieser Art?

Answer 1

Lass es dir von http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm vormachen

5/((x^2 + 1)·(x + 1)) = (- 2.5·x + 2.5)/(x^2 + 1) + 2.5/(x + 1)

Comments

Dh. man könnte sich folgendes Merken:

Sobald es komplex wird, dann gilt es das Schema

A/(x+1) + (Bx+C)/(x^2+1) anzuwenden

natürlich sollte man dann x+1 und x^2+1 auf die Aufgabe anpassen?

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Ja.

Bei linearen Nenner wählt man einen konstanten Ansatz.

Bei quadratischen Nenner wählt man einen linearen Ansatz.

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Okay dann merke ich mir das mal so. Danke und +1 für jeden hier.

Answer 2

Der Ansatz (Ax+B)/(1+x²)+C/(1+x) führt hier zum Ziel. Ergebnis. A=-5/2, B=C=5/2

Comments

Hi Roland, wie kommt man auf diesen Ansatz?

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@Fragesteller001: Das ist dasselbe wie du in deinem Kommentar oben geschrieben hast. Du hast die Parameter nur anders benannt.

Answer 3

da es sich um komplexe Nullstellen handelt (1 +x^2)

lautet der Ansatz der Partialbruchzerlegung:

5/((1+x^2)(1+x)) =A/(x+1) + (Bx+C)/(x^2+1)

Comments

Hallo Grosserloewe,

dann kann man sich beim komplexen also das Schema merken?

VGL zu  meinem Kommentar oben

Answer 4

bei einer Partialbruchzerlegung zerlegst Du den Nenner in Faktoren. Für jeden Faktor machst Du einen Bruch, mit dem Faktor im Nenner und im Zähler einen allgemeinen Ansatz über ein Polynom, was im Grad um 1 niedriger ist.

Der Nenner muss dabei nicht vollständig und so weit es geht zerlegt werden, das ist oft nicht sinnvoll und bedeutet nur einen erheblichen Rechenaufwand.

Die Frage nach komplex oder reel ist völlig egal, weil Du z.B. ein Polynom 2. Grades ("Parabel") mit 2 reellen Nullstellen bei einr Partialbruchzerlegung in lineare Polynome zerlegen kannst, aber nicht unbedingt musst. Genauso wie Du es dennoch zerlegen kannst, auch wenn es komplexe Nullstellen hat.

Grüße,

M.B.