Zu 2) Die Raumdiagonale D im Würfel bildet zusammen mit der Flächendiagonale im Quadrat (siehe 1) und einer Würfelkante ein rechtwinkliges Dreieck, in dem gilt a2+(√2a)2=D2. Dann ist D=a√3.
Zu 3) Die Höhe h teilt das gleichseitige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. In jedem gilt h2+(a/2)2=a2 Dann ist h=a/2·√3 und F=a·h/2=a2/4√3
zu 4) Ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge a ist aus 6 gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt. x = a, h=a/2·√3 und F=6·a2/4√3=1,5·a2·√3.
Zu5) Die Oberfläche eines Tetraeders besteht aus vier Flächen F (siehe 3). O=a2·√3. Der Fußpunkt der Höhe H des Tetraeders teilt die Höhe h seiner Grundfläche im Verhältnis 1/3 zu 2/3, Dann gilt (2h/3)2+H2=a2. h aus 3. hier eingesetzt (2(a/2·√3)/3)2+H2=a2 oder H2=a2- a2/3 und dann H=√(2/3)·a. Die Grundfläche ist F=a2/4·√3 und das Volumen ist V=1/3·F·H. F und H einsetzen und vereinfachen.
