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 Aufgabe:

10 Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten \( \mathrm{A}(5|2|2), \) \( \mathrm{B}(1|5|4), \) und \( \mathrm{C}(4|9|4) \)
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck rechtwinklig ist.
b) Bestimmen Sie D, sodass das Viereck ABCD ein Rechteck ist.
c) Zeigen Sie, dass die Diagonalen des Rechtecks gleich lang sind.
d) Bestimmen sie den Schnittpunkt der Diagonalen des Rechtecks.

Bild Mathematik

Aufgabe ist es den fehlenden Eckpunkt D zu berechnen. Ich befürchte mir ist ein Fehler unterlaufen, könntet ihr bitte drüber schauen?

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wenn $$A= \begin{pmatrix} 5\\2 \\ 2\end{pmatrix}$$ und $$B=\begin{pmatrix} 1\\ 5\\ 4\end{pmatrix}$$ dann ist $$AB= \begin{pmatrix} 1\\ 5\\ 4\end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 5\\2 \\ 2\end{pmatrix}=  \begin{pmatrix} -4\\3 \\ 2\end{pmatrix} $$ Das passt in keiner Weise zu Deinen Notizen oben.

Der rechte Winkel befindet sich beim Punkt \(B\). Den Punkt \(D\) berechnest Du zum Beispiel als Spiegelung von \(B\) am Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(AC\). Es ist $$M=\frac{1}{2}\left(A+C\right)=\frac{1}{2}\left( \begin{pmatrix} 5\\2 \\ 2\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 4\\9 \\ 4\end{pmatrix}\right)= \begin{pmatrix} 4,5\\5,5 \\ 3\end{pmatrix}$$ und $$D=2\cdot M - B=2 \cdot \begin{pmatrix} 4,5\\5,5 \\ 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 5\\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8\\ 6\\ 2\end{pmatrix}$$

zu c) $$|AC|=\left| \begin{pmatrix} -1\\ 7\\ 2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{54}= |BD|=\left| \begin{pmatrix} 7\\ 1\\ -2\end{pmatrix} \right| = \sqrt{54}$$

zu d) Der Schnittpunkt ist \(=M\) (s.o.)

Gruß Werner

Avatar von 48 k
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Was mir gerade auffällt: Bei einem Punkt müssen die Koordinaten nebeneinander und nicht übereinander stehen. Wenn du richtig gerechnet hast, deshalb D(4,5,-4) .

Befindet sich der rechte Winkel in B?

Wenn ja, dann muss AB = DC (Vektorpfeile selbst ergänzen) gelten.

AB hast du falsch ausgerechnet AB = (-4 | 3|2) . (untereinander schreiben). 

Avatar von 162 k 🚀

Hallo Lu,

\(D=A+C-B\) - wie kommst Du dann auf D(4,5,-4)?

Gruß Werner

Ich habe nur gesagt, dass die Komponenten nebeneinander stehen müssen. Da AB falsch berechnet war, stimmen die Zahlen voraussichtlich nicht.

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