Relationen einer Menge. R = { (1,2), (2,2), (1,1), (3,3) }

Question

Verständnisproblem bei Relationen einer Menge:

R = { (1,2), (2,2), (1,1), (3,3) }

Jetzt meine eigentliche Frage. Wieso ist R nicht symmetrisch? Also ich weiß Def symmetrie ∀_a,b ∈ A ((a,b) ∈ R : (b,a) ∈ R). Heißt das jetzt die ganze Menge ist nicht symmetrisch (1,2) ∈ R aber (2,1) ∉ R, weil (2,2), (1,1), (3,3) ist ja symmetrisch? Daraus schließe ich, dass die ganze Menge wegen dem Paar (2,1) ∉ R nicht symmetrisch ist? Stimmt das so?

LG

Answer 1

"die ganze Relation ist nicht symmetrisch (1,2) ∈ R aber (2,1) ∉ R, weil (2,2), (1,1), (3,3) ist ja symmetrisch?"

Ja. Das stimmt. Ein einziges Gegenbeispiel genügt, wenn die Behauptung "für alle (a,b) Element R" zu widerlegen ist. Die Relation R ist daher nicht symmetrisch. 

Comments

Jetzt nochmal auf deutsch, das heißt nur weil das Paar (2,1) nicht in der Menge R vorkommt ist es nicht symmetrisch?

Wäre die Menge R = { (2,2), (1,1), (3,3) }

Dann wäre R  reflexiv und symmetrisch? 

Danke für deine schnelle Antwort!

---

Zu "refflexiv" musst du erst noch wissen, ob die beiden Mengen, die in Relation stehen nur die Elemente 1, 2 und 3 enthalten. 

R = { (2,2), (1,1), (3,3) }

ist nur eine Abkürzung für 

2 R 2, 1 R 1, 3 R 3  

und zeigt dir durch die Mengenklammer, dass die Relation R abschliessend beschrieben ist.

https://de.wikipedia.org/wiki/Reflexive_Relation

Konkret: Wenn M= {1,2,3} ist, hast du recht mit R ist reflexiv. Sonst nicht. 

---

ja das ist der Fall A = {1,2,3} und R = {(2,2), (1,1), (3,3) }. Daher sind die Eigenschaften für Reflexivität und Symmetrie erfüllt. Das heißt aber auch das die Eigenschaft für Transitivität erfüllt sind oder nicht?

Danke für deine Antwort hat mir weitergeholfen.

---

JA. Dann ist das ok. Freut mich, wenn das geholfen hat. 

---

Ich hab dazu jetzt doch noch eine Frage und zwar: A = {1,2,3} und R = { (1,2), (2,2), (1,1), (3,3) } das bedeutet die Menge ist Reflexiv und Transitiv, jedoch nicht symmetrisch. Aber warum ist R hier Reflexiv und Transitiv? Denn das Paar (1,2) ist nicht Reflexiv und auch nicht Transitiv? Das heißt ich hab einen Widerspruch gefunden oder?

LG

---

"reflexiv" bezieht sich nur auf alle Elemente von A. (1,1), (2,2), (3,3) genügt, damit die Relation reflexiv ist. 

Transitiv bezeiht sich auf die "Paare" in R.

(1,1) und (1,2) in R ==> (1,2) in R

(1,2) und (2,2) in R ==> (1,2) in R

(1,1) und (1,1) in R ==> (1,1) in R

usw.

Du musst überprüfen, ob es keine blauen "Anhängungen" gibt, die aus R hinausführen. Und das ist hier nicht der Fall. Daher ist die Relation transitiv. 

---

Ok Reflexivität hab ich verstanden, bei der Transitivität stehe ich am Schlauch. Kann ich es so sehen egal was ich bei der Definition einsetze es wird immer wahr, weil Falsch ==> etwas ≡ wahr?

Das mit den Anhängungen hab ich nicht verstanden es gibt doch gar nicht mehr Möglichkeiten, als die, die du Aufgelistet hast?

LG

---

Kein Wunder, dass du kein Gegenbeispiel findest. die gegebene Relation ist ja transitiv.

Erfundenes Beispiel:

Nicht transitiv ist z.B. 

A = {1,2,3} und R = {(2,2), (1,1), (3,3),(1,2),(2,3) }

Grund: (1,2) und (2,3) in R müsste ergeben, dass (1,3) in R. falsch => Bsp. nicht transitiv

Oder 

A = {1,2,3} und R = {(2,2),(1,2),(2,1) }

Grund: (1,2) und (2,1) in R müsste ergeben, dass (1,1) in R.  falsch => Bsp. auch nicht transitiv

---

Sorry hab erst jetzt Zeit gefunden zu Antworten. Jetzt ist es mir klar, danke.