Wie halte ich Alpha- und Betafehler in der Summe gering?

Question

Für eine Lotterie werden Losmischungen vorbereitet:

Mischung 1: 20%

Mischung 2: 5%

Leider wurde es versäumt, die Mischungen zu kennzeichnen. Zur Einstufung wird ein Alternativtest angewandt. Dabei sollen aus einer Mischung 20 Lose gezogen werden. Wie muss die Entscheidungsregel lauten, damit die Summe von Alpha-Fehler und Beta-Fehler minimal ist?

H0: Mischung 1 ist wahr

H1: Mischung 2 ist wahr

Ansatz: H0: n = 20; p=0,2 k=X
H1: n=20; p=0,05 k=X

Wie suche ich mir jetzt ein geeignets K raus, damit beides summiert am kleinsten ist?

Answer 1

20 * 0.05 = 1

20 * 0.2 = 4

Wahrscheinlichkeitsverteilung im Bereich von 1 bis 4

xi	1	2	3	4
P(X=xi | p = 0.05)	0.3774	0.1887	0.0596	0.0133
P(X=xi | p = 0.2)	0.0576	0.1369	0.2054	0.2182

Die Regel zur Minimierung beider Fehler lautet, dass immer der Wert von p gewählt wird, für den die Wahrscheinlichkeit von P(X=xi) maximal wird.

D.h. bis 2 Treffer werden 5% angenommen und ab 3 Treffer werden 20% angenommen.