Ja, das gilt laut Definition. Die lautet nähmlich: wenn der Grenzwert des Differenzenquotient existiert, dann ist die Funktion differenzierbar und der Grenzwert heißt Ableitung.
Existiert der Grenzwert des Differenzenquotiente also nicht, dann gibt es weder einen Grund, die Funktion als differenzierbar zu bezeichnen, noch einen, von Ableitung zu reden.
Übrigens: Die Produktregel sagt nicht nur aus, dass die Ableitung der Funktion
f(x) := g(x)·h(x)
mittels
f'(x) := g'(x)·h(x) + g(x)·h'(x)
berechnet werden kann, falls diese existiert. Sie sagt darüber hinaus auch noch aus, dass wenn g und h differenzierbar sind, auch f differenzierbar ist. Ähnliches gilt für Faktor-, Summen-, Quotienten- und Kettenregel.
