Analysis, Numerische Integration, Reisezeit des Schiffes?

Question

Ich brauche Hilfe bei der Aufgabe. Nutzt man hier die Bogenlänge einer Kurve?

Comments

Nutzt man hier die Bogenlänge einer Kurve?

Ja. Es wäre sinnvoll, wenn man die bestimmen würde. 

Answer 1

Hallo probe,

Nimmt man sich eine Stelle $x$ an der Funktion und berechnet die Streckenlänge der Funktion in einem ausreichend kleinen Intervall $\Delta x$, so ist die Streckenlänge $\Delta s$ nach Pythagoras $\Delta s = \sqrt{\Delta x^2 + \left( f(x+\Delta x) - f(x)\right)^2}$. Und die Strecke $S$ in einem Intervall $a,b$ erhält man aus der Summe aller $\Delta s$:

$$S=\sum_a^b \Delta s= \sum_a^b \sqrt{\Delta x^2 + \left( f(x+\Delta x) - f(x)\right)^2}\\= \sum_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{ f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right)^2}\cdot \Delta x$$ Der Ausdruck in Klammern unter der Wurzel ist der Differenzenquotient der Funktion $f(x)$. Mit dem Übergang $\Delta x \to 0$ wird daraus

$$S = \int_a^b \sqrt{1+\left( f\prime(x)\right)^2}dx$$

Führst Du die Integration nummerisch durch, so bleibt $\Delta x$ endlich und man löst die Summenformel oben. Unterteile die Strecke z.B. in drei Bereiche ($\Delta x=1$) und man erhält folgende Zahlen:

x	f(x)	f(x+dx)-f(x)	ds
1	4,000	-2,000	2,236
2	2,000	-0,667	1,202
3	1,333	-0,333	1,054
4	1,000
.	.	S=	4,492

Bei 6 Bereichen ist $S=4,519$ und bei 12 ist $S=4,526$.

Gruß Werner

Comments

Wie kommst Du auf die Werte in den letzten beiden Spalten?

Vielleicht kannst Du jeweils eins vorrechnen.

---

In der letzten Spalte steht das $ds$. $ds=\sqrt{1+\left( \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \right)^2}$. Im konkreten Fall der ersten Zeile ist das $ds = \sqrt{1 + \left( \frac{2-4}{1} \right)^2}=\sqrt{5} \approx 2,236$.

Die dritte Spalte soll den Term $\frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$ enthalten. $\Delta x$ ist in diesem Fall aber =1.

Gruß Werner

---

1) Wieso hast Du bei den letzten beiden Spalten für x=4 die Werte nicht bestimmt?

2) Die Lösung ist also 4,492?

Wei kommst Du dann auf 4,519 und 4,526?

---

"Wieso hast Du bei den letzten beiden Spalten für x=4 die Werte nicht bestimmt?" weil es dort keine Werte gibt! Es sind nur drei Bereiche, die ich betrachte. Drei nebeneinander liegende Bereiche haben vier Grenzen!

"Wie kommst Du dann auf 4,519 und 4,526? " indem ich die Anzahl der Bereiche (bzw. Intervalle von $\Delta x$) jeweils verdoppelt habe. Von 3 auf 6 und dann auf 12. Damit wird das $\Delta x$ immer kleiner und das Ergebnis immer genauer. Bei 6 Bereichen ist $\Delta x=0,5$ und bei 12 Bereichen ist $\Delta x=0,25$.

Gruß Werner

---

Ich stelle meinen Beitrag einmal hier ein.
Ein Bild wird wahrscheinlich mehr als 1000
Worte sagen.
Die Weglänge Δs berechnet sich im
Steigungsdreieck über den Pythagoras.
Es gibt ( wie man sieht ) 3 Abschnitte

mfg Georg

---

Georg hat Recht. Ein Bild sagt mehr als 1000 Worte. Anbei siehst Du in graphischer Darstellung die drei Näherungslösungen für  $\Delta x=1$ (grün; 3 Bereiche), $\Delta x=0,5$ (rot; 6 Bereiche) und $\Delta x=0,25$ (blau; 12 Bereiche). Der Wert errechnet sich stets aus der Summe der Längen der einzelnen Strecken.

Ich habe die grüne und die rote Kurve etwas nach rechts geschoben, damit man es besser sehen kann. Sonst lägen sie auf einander.

 

Du siehst hier, dass sich der Streckenzug immer mehr der eigentlichen Kurve annähert, umso mehr Bereiche man wählt, bzw. umso kleiner das $\Delta x$ wird.

Der eigentliche Wert liegt bei $\approx 4,52836$ (auf 5 Nachkommastellen genau).

Answer 2

Hier meine Berechnungen für das
Intervall 2 bis 4 mit Δx = 0.5

Die kleinen Dreiecke haben die
Katheten Δy und Δx. Die Hypotenuse
( Weglänge ) ergibt sich über den
Pythagoras.

Der Weg ist zu [ 2 | 2 ) im oberen Teil gleich.

s =5.52 km
t = 5.52 / 8

mfg Georg

Comments

s = 5.52 km
t = 5.52 / 8

Korrektur
s = 4.52 km
t = 4.52 / 8 = 0.565 h