Mehrere kurze Verständnisfragen zum konjugiert-komplexen einer Zahl und noch eine zu Im{z}=...?

Question

Alg. gilt ja: a+ib=z und z*=a-bi

Meine Frage:

Gilt:

$$ 1.~~Im\{\overline{a}\}=0,~a\in \mathbb{R} \\ $$
$$ 2.~~Im\{\overline{i}\}=1  $$ i ist hier ebenfalls k-k

$$ 3.~~ \overline{a^3}=a^3 $$ und

$$ 4.~~\overline{i}=i $$i ist hier ebenfalls k-k

???

Oder wie ist das konjugiert-komplexe von "einzelnen" Zahlen definiert?  Kann man eig. sagen, dass z=1+i auch eine einzelne Zahl ist?

Oh, und 5. Im{5+i}=1 ?

Danke, für die möglichen Antworten :)

Answer 1

Was genau soll man denn nun machen? Sind das deine Folgerungen? Fehlen Pfeile oder so?

Allg. gilt ja: a+ib=z und z*=a-bi

Meine Frage:

Gilt:

$$ 1.~~Im\{\overline{a}\}=0,~a\in \mathbb{R} \\ $$ 

a Element R ist z.B. eine Folgerung von Im(a^quer) = 0. 
$$ 2.~~Im\{\overline{i}\}=1  $$ i ist hier ebenfalls k-k

i^{quer} = -i

Im(-i) = -1.

Also : $$ 2.~~Im\{\overline{i}\}=1  $$ ist falsch. 

$$ 3.~~ \overline{a^3}=a^3 $$ 

ist nicht allgemeingültig. Es sein denn, dass a Element R. 

$$ 4.~~\overline{i}=i $$i ist hier ebenfalls k-k

Das ist ebenfalls falsch: i^{quer} ist immer noch -i. 

Was ist mit k-k gemeint? 

Oder wie ist das konjugiert-komplexe von "einzelnen" Zahlen definiert?  Kann man eig. sagen, dass z=1+i auch eine einzelne Zahl ist?

ja. z = 1+i ist eine (komplexe) Zahl.

zu ihr gehört

z^{quer} = 1 -i 

Oh, und 5. Im(5+i)=1 ?

Ja das stimmt. Benutze ruhig runde Klammern.