Ableitung - Textaufgabe - Hefepilz

Question

Unzwar komme ich bei folgender Aufgabenstellung nicht voran:

Der Hefepilz ist sowohl beim Backen als auch bei der Produktion von Alkohol eine wichtige Substanz. Das Wachstum einer Hefekultur (in mg) kann nährungsweise durch die Funktion

W( t ) = - 0,38t^3 + 9,12t^2 + 9,6 für 0 <t <16 dargestellt werden ( t in h).

a) Berechne die Ableitungsfunktion W' und lassse den vom GTR angegebenen Definitionsbereich anzeigen.

b) Wekche Bedeutung hat die Ableitung und der Verlauf deines Graphens im Kontext?

Answer 1

Um die Ableitung von W zu berechnen, benutzen wir die Potenzregel: $$f'(t)=\left(t^n\right)'=n\cdot t^{n-1}$$ Wir bekommen also folgendes: $$W'(t)=-0.38\cdot 3t^{3-1}+9.12\cdot 2t^{2-1}=-1.14t^2+18.24t$$

Die 1. Ableitung gibt die Änderung des Funktionswertes an, d.h. die Steigung des Funktionsgraphen an einer bestimmten Stelle. 

Das bedeutet dass W'(t) beschreibt wie schnell die Hefekultur zu einem bestimmten Zeitpunkt t wächst. 

Answer 2

Zu b) Merke: Grundsätzlich gilt: Die Ableitung nach der (unabhängigen) Zeit-Variablen (meistens t) ist die Geschwindigkeit der Veränderung der abhänigen Variablen (meistens f(t)). Beispiele:

Hier ist W(t) ein Gewicht. Die Ableitung eines Gewichtes nach der Zeit ist also die Geschindigkeit der Veränderung dieses Gewichts. Hier auch "Wachstumsgeschwindigkeit" genannt.

Die Funktion der beschleunigten Bewegung s(t)=b/2·t² hat die Ableitung v=b·t. Die Ableitung des Weges s nach der Zeit t ist also die Bewegungsgeschwindigkeit, kurz "Geschwindigkeit" genannt.