Konvergenz der Reihe (-1)n/log(n)

Question

üben gerade Analysis und haben schwierigkeiten mit der Aufgabe:

$$\sum_{\infty}^{n=1}{ \frac{ -1^{ n } }{ log (n) } }$$

Ich vermute man müsste für gerade und ungerade prüfen.

Heißt also...

$$\sum_{ \infty }^{ n=1 }{ \frac{ -1^{ n } }{ log (n) } } := c_{ n }$$

für gerade $$c_{ n } =\frac{ -1 }{ log(n) }$$

für ungerade $$c_{ n }=\frac{ 2 }{ log(n) }$$

Sind jetzt alles nur Vermutungen in der Gruppe. Ist der Ansatz richtig oder wie müsste man weiter machen?

Answer 1

bei alternierenden Reihen bietet es sich an, das Leibnitz Kriterium zu überprüfen.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium

Zu überprüfen ist also,

ob

$${ a }_{ n}=\frac { 1 }{ log(n) }$$

eine monotone Nullfolge ist.

Beachte allerdings, dass die Summe nicht bei n=1 starten kann, denn log(1)=0 und Division durch 0 ist nicht definiert.

Comments

Ich bin mir nicht sicher, ob n=1 eventuell ein fehler beim Abschreiben war. Ist es dennoch so lösbar?

Aber mal weiter:

Der Zähler ist ja 1. Der Nenner wird, auch wenn nur schleppend, immer größer. Reicht das als Begründung, zu sagen, dass 1/log(n) dann gegen 0 geht?

Zu prüfen wäre danach a_n ≥ a_n+1 . Das wäre ja auch gegeben, da bei steigendem n immer kleiner wird.

Zu durcheinander? Wie würde man weiter machen? Mathematisch korrekt?

Danke für die Hilfe.

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Ja, als Begründung reicht es, dass der Logarithmus eine monoton wachsende Funktion ist. Demnach ist 1/log(n) eine monoton fallende Funktion mit Grenzwert 0, die Reihe konvergiert also nach dem Leibnitz-Kriterium.